Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

Имеется, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры в математических моделях материалов: неявным или явным способом. В первом случае в структуру определяющих соотношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации) [35], без использования в явной форме параметров, описывающих эволюцию собственно мезо- и микроструктуры (например, теория упругопластических процессов А.А. Ильюшина [12, 13]). Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые различными (обычно – довольно сложными) операторами модели материала. Идентификация подобных моделей требует проведения трудоемких и дорогостоящих экспериментов. Применение подобных ОС при решении краевых задач, возникающих при анализе реальных процессов, также связано со значительными трудностями.

В последние десятилетия все большее признание находит второй подход – явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными.

В литературе, посвященной различным теориям процессов необратимого деформирования, внутренними переменными называют параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях. Этимология термина «внутренние переменные», вероятно, связана и с (неравновесной) термодинамикой, где внутренними переменными называют параметры состояния термодинамической системы, управлять напрямую изменениями которых за счет внешних воздействий невозможно. Иначе говоря, эти переменные описывают «внутреннюю жизнь» термодинамической системы, чрезвычайно богатую сценариями развития, неустойчивостями, возникновением и разрушением внутренних структур.

Например, в случае рассмотрения процессов упругопластического деформирования поликристаллических материалов такими переменными могут являться параметры, характеризующие размеры и форму зерен, накопленные сдвиги по различным системам скольжения (СС), текущие критические напряжения сдвига по СС. Большинство физических теорий пластичности построено, по существу, в рамках данного подхода с использованием указанных выше внутренних переменных, которые характеризуют состояние материала в текущий момент времени. Для упругопластического деформирования в общем случае возможно введение и других параметров, характеризующих, например, дефектную структуру, как в отдельных зернах, так и во всем рассматриваемом представительном объеме. В частности, для учета механизма зернограничного скольжения необходимым представляется введение в качестве отдельных элементов структуры межзеренных границ, величин сдвигов по грницам и критических напряжений зернограничного скольжения (ЗГС).

В настоящее время невозможно назвать какую-либо теорию необратимых деформаций, не использующую явно или неявно внутренние переменные. Например, в классической теории пластичности широко применяется понятие поверхности текучести, отделяющее в пространстве напряжений области упругого и неупругого деформирования [11, 14, 33]. В процессе деформирования поверхность текучести изменяет свою форму и размеры, перемещается как целое [14]. Эта эволюция поверхности текучести на макроуровне отражает изменения свойств материала, обусловленные перестройками мезо- и микроструктуры, в связи с чем параметры, описывающие эволюцию этой поверхности, с полным правом можно отнести к внутренним переменным. Аналогичная ситуация имеет место и в других теориях (вязкоупругости, вязкопластичности, ползучести и др.). Широкий класс моделей, по существу основанных на введении внутренних переменных, разработан исследователями томской школы физиков [22-24, 54].

Рассмотрим общую структуру конститутивной модели с использованием внутренних переменных для некоторого масштабного уровня. Обозначим через

Σ – меру (в общем случае произвольную) напряженного состояния,

– ее объективную [31] скорость изменения,

– параметры воздействия термомеханической (например, температура, мера деформированного состояния и т.д.) и нетермомеханической (например, радиация, химические воздействия) природы.

Часть внутренних переменных непосредственно входит в структуру ОС данного масштабного уровня, такие переменные в дальнейшем будем обозначать и для ясности называть их внутренними «явными» (explicit) переменными. Вторая группа внутренних переменных (в большинстве случаев относящихся к более глубоким масштабным уровням) входит в качестве переменных в эволюционные уравнения (ЭУ); переменные этой группы будем обозначать как , ; для того, чтобы отличать их от переменных первой группы будем называть их внутренними «скрытыми (неявными)» (implicit) переменными. Полная совокупность внутренних переменных, таким образом, определяется как , , , , .

При построении модели для решения вопроса выбора внутренних переменных целесообразно руководствоваться нижеприведенными требованиями:

1. Набор внутренних переменных должен быть достаточным для адекватности модели: последняя должна описывать интересующие эффекты и соответствовать экспериментальным данным с требуемой точностью

2. Набор внутренних переменных должен быть минимальным (т.к. введение каждой дополнительной переменной приводит к необходимости включения эволюционного уравнения (для неявных) или уравнения замыкания (для явных), т.е. усложнению ОС);

Можно отметить, что требования 1 и 2 противоречивы, что характерно для построения любой модели [8]: необходимо при минимуме использованных средств достичь возможно полного, адекватного описания явления или объекта.

3. Внутренние явные переменные (по крайней мере, некоторые) должны быть измеримы экспериментально в любой момент времени. К этому приводит необходимость задания начальных условий для (некоторых) явных внутренних переменных (например, распределение зерен по размерам в начальный момент времени). Кроме того, измеримость некоторых переменных необходима для верификации модели.