8.2. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней и конкретизация независящей от выбора системы отсчета производной

Одним из часто возникающих вопросов при построении двухуровневых (и, в общем случае, многоуровневых) моделей, использующих гипотезу Фойгта, является следующий: почему возникает излишняя информация о напряжениях на макроуровне? Действительно, с одной стороны, на макроуровне напряжения определяются из закона Гука в скоростной релаксационной форме, в который входят осредненные скорости неупругих деформаций, определяемые в модели мезоуровня. С другой стороны, напряжения макроуровня можно определить осреднением напряжений мезоуровня. При этом нет оснований утверждать, что вычисленные этими двумя способами напряженные состояния окажутся идентичными или хотя бы близкими.

Однако следует помнить, что на макроуровне остается нерешенной проблема выбора квазитвердого движения и соответствующей коротационной производной в законе Гука. Ниже приведен алгоритм выбора коротационной производной и выражения для скорости неупругой деформации, обеспечивающие согласование определяющих соотношений различных масштабных уровней. Отметим, что с методической точки зрения достаточно провести согласование двух соседних масштабных уровней, для остальных все выкладки аналогичны.

Рассмотрим два соседних масштабных уровня некоторой многоуровневой модели, величины на верхнем масштабном уровне будем обозначать большими буквами, на нижнем масштабном уровне – малыми. Для определенности примем, что определяющее соотношение верхнего уровня записывается в форме:

,

нижнего уровня (для каждого элемента из выборки, соответствующей представительному объему верхнего уровня) – в виде:

.

В соотношениях и не конкретизируется вид тензоров А, а, характеризующих движение подвижных систем координат на верхнем и нижнем (для каждого элемента) масштабном уровне, относительно которой определяется квазитвердное движение, в частности, не накладывается условие антисимметричности; необходимым условием является только индифферентность ассоциированных с этими тензорами производных от индифферентных тензоров – для обеспечения выполнения независимости определяющих уравнений , от выбора системы отсчета.

Представим величины, входящие в описание напряженно-деформированного состояния элемента нижнего уровня, в виде суммы средних по представительному объему верхнего уровня величин и отклонений от этих средних:

где – оператор осреднения, обладающий свойством

.

Вид используемого оператора осреднения не обсуждается, например, может использоваться осреднение по объему или осреднение в пространстве ориентаций решеток кристаллитов, важно лишь выполнение свойства для используемого оператора осреднения.

Подставляя представление в определяющее уравнение нижнего уровня , получаем соотношение:

Осредняя , имеем:

Примем, что согласование напряженно-деформированного состояния на различных уровнях заключается в равенствах

, , .

Соотношение устанавливает, что эффективные свойства и характеристики напряженно-деформированного на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

При условии соотношение представляется в виде:

Сравнивая с формой определяющего уравнения на верхнем уровне , можно получить уравнения, связывающие параметры верхнего уровня с параметрами нижнего уровня, обеспечивающие выполнение условий согласования . При этом возникают, по крайней мере, два возможных варианта определения .

В первом случае напрямую сопоставляются левые и правые части соотношений и , откуда следует связи параметров уровней:

,

.

Тензор , определенный согласно , в общем случае не является антисимметричным, . В этом случае левую часть определяющего соотношения верхнего уровня следует трактовать как конвективную производную тензора напряжений Коши. Для рассматриваемых многоуровневых моделей можно показать, что полученная конвективная производная является индифферентной по отношению к наложенному жесткому движению.

Необходимым и достаточным условием антисимметричности А (при условии антисимметричности тензора а и симметрии тензоров напряжений макро- и мезоуровня) является

.

При выполнении условия на макроуровне конвективная производная выродится в коротационную производную. Для получения необходимым и достаточным условием будет являться .

Отметим, что трактовка движения подвижной системы координат, определяемой достаточно сложна: во-первых, в данной системе координат меняются длины базисных векторов и углы между ними, во-вторых, характеризующий движение тензор А явно зависит от Σ.

В соотношении к собственно неупругим деформациям добавляется член, характеризующий коррелированные (с флуктуациями компонент тензора упругих характеристик) напряжения.

В случае использования в статистических моделях для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта , , связи - принимает вид:

,

.

При использовании гипотезы Рейсса , , соотношения - принимают вид

,

.

При антисимметричных тензорах , т.е. при коротационных производных на нижнем масштабном уровне в законе , помимо вышеизложенного подхода для определения зависимостей от параметров нижнего уровня предлагается альтернативный вариант. При антисимметричном a соотношение принимает вид:

Анализируя левую часть соотношения , можно структуре дать трактовку коротационной производной (спин подвижной системы координат верхнего уровня определяется как ). Последний симметричный член в правой части ( ) можно трактовать как дополнительный вклад, характеризующий скорость изменения напряжений за счет коррелированных разворотов элементов нижележащего уровня со своими отклонениями напряжений от среднего уровня. Перенося этот член в правую часть, имеем:

Сопоставляя соотношения и , можно определить связи параметров уровней следующим образом:

,

.

При таком подходе на верхнем уровне получается коротационная производная. Жесткую подвижную систему координат можно трактовать как некоторый трехгранник, вращающийся с угловой скоростью, определяемой осредненным спином .

В случае использования в статистических моделях для передачи на нижний уровень условий нагружения гипотезы Фойгта , , связи - принимают вид:

,

.

При использовании гипотезы Рейсса , , соотношения - принимают вид

,

.

Отметим, что несмотря на различные связи параметров (и различие в используемых физических трактовках), соотношения - и соотношения – приводят к одному и тому же определяющему уравнению для напряжения на верхнем уровне и выполнению условий согласования .

Таким образом, условие согласования определяющих уравнений различных масштабных уровней приводит к конкретизации вида определяющего соотношения на макроуровне (и в частности – вида независящей от выбора системы отсчета производной). По существу, соотношения низшего уровня «транспортируются» на верхний, разрешая вопрос корректной их формулировки для геометрически и физически нелинейной задачи. Действительно, параметры определяющего соотношения верхнего уровня определены с целью выполнения , и при реализации модели отсутствует необходимость интегрирования определяющего уравнения верхнего уровня – достаточно напрямую воспользоваться связью , , . В то же время следует отметить, что определяющие соотношения верхнего масштабного уровня необходимы для постановки и решения соответствующей краевой задачи исследования деформирования макроскопического тела (детали, конструкции).

При подобном подходе (как и при применении многоуровневого подхода в целом), конечно, возникает вопрос о степени корректности модели низшего уровня, восходящий к известной проблеме замыкания эволюционных и определяющих уравнений (наиболее известным примером может служить проблема замыкания в теории турбулентности). Суть проблемы состоит в том, что при формулировке физических уравнений для представительного объема некоторого уровня возникает необходимость введения параметров меньшего масштабного уровня и эволюционных уравнений для них, и так далее – вниз по «лестнице масштабов». Можно отметить два наиболее употребительных подхода к ее решению. В первом – феноменологическом – параметры, характеризующие структуру на более низких масштабных уровнях, определяются функциональными уравнениями через параметры рассматриваемого уровня (например, как в модели турбулентности Рейнольдса) с последующей экспериментальной проверкой этих уравнений. Второй подход основан на построении иерархической совокупности моделей нескольких масштабных уровней – многоуровневое моделирование. Следует отметить, что в этом случае полностью избежать феноменологических соотношений, конечно, не удается, однако они записываются для самого низкого масштабного уровня в принятой иерархической совокупности, для которого возможна конкретизация физических механизмов деформирования и детальное их описание с использованием известных положений физики твердого тела (это представляется существенно более простой задачей по сравнению с задачей установления макрофеноменологических соотношений, одновременно учитывающих состояние многомасштабной внутренней структуры и описывающих многообразие всех механизмов неупругого деформирования).

Отметим, что предложенную методику легко применить и при другой форме определяющих соотношений на мезо- и макроуровнях для широкого класса конститутивных моделей с использованием внутренних переменных (когда определяющие соотношения являются дифференциальными, например – для соотношений максвелловского типа).

Для двухуровневой модели поликристаллических металлов используется следующие связи (конкретизация замыкающих соотношений макроуровня):

,

,

либо (согласно второму подходу)

,

.