Вопросы к главе 4

1. Приведите описание и соотношения модели Закса.

2. Перечислите основные гипотезы модели Тейлора.

3. Опишите основанный на модели Тейлора алгоритм построения кривой напряжение – деформация при одноосном нагружении поликристаллического образца.

4. Сформулируйте задачу линейного программирования, к которой приводится модель Тейлора, и двойственную к ней задачу.

5. Перечислите основные недостатки модели Тейлора.

6. Приведите основные положения и понятия, используемые при формулировке модели Бишопа – Хилла.

7. Сформулируйте и докажите принцип максимума работы для монокристалла.

8. Дайте определения геометрически и физически возможных векторов сдвига (скоростей сдвигов).

9. Сформулируйте и докажите принцип минимума сдвига (работы) для монокристалла, сопоставьте принципы минимума и максимума работы.

10. Какой подход к осреднению применяется в модели Бишопа – Хилла и на каких гипотезах он основан?

11. Сформулируйте и докажите принципы максимума работы и минимума сдвига для поликристалла.

12. Проведите сопоставление моделей Тейлора и Бишопа – Хилла.

Глава 5. Упругопластические модели

В большинстве работ по физическим теориям пластичности в качестве одного из основных недостатков моделей Тейлора, Бишопа–Хилла и их модификаций отмечается неучет упругих деформаций. Т.Г. Линь полагал [21, 124], что упругими деформациями можно пренебречь в случае больших пластических деформаций, что недопустимо в случае, когда эти составляющие имеют один порядок. Однако подобная ситуация при анализе упругопластического деформирования представляет ограниченный интерес даже в теоретическом плане и весьма редко встречается в практически важных задачах. Тем не менее, включение в рассмотрение упругих деформаций представляется необходимым исходя из потребности определения остаточных напряжений (второго рода), во многом определяющих прочностные характеристики материала, и накапливаемой упругой энергии. Кроме того, при учете упругих деформаций снимается предположение о несжимаемости материала, весьма затрудняещее построение определяющих соотношений [50]. Отметим, что первоначально модель Линя сформулирована для случая малых деформаций.

Следует отметить, что большинство упругопластических (равно как и упруговязкопластических) моделей используют гипотезу аддитивности упругих и неупругих составляющих тензора деформации скорости и (изотропный или анизотропный) закон Гука:

,

или ОС в так называемой скоростной релаксационной форме ( ‑ тензор упругих характеристик). Вместо материальной производной тензора напряжений в геометрически нелинейном случае применяется та или иная «объективная производная», чаще всего – коротационная. Основное отличие заключается в части конститутивной модели, используемой для определения неупругой составляющей тензора деформации скорости. Собственно физическая теория строится для представительного объема макроуровня, состоящего из конечного (но большого, порядка нескольких сотен или тысяч) кристаллитов (зерен, субзерен).

5.1. Модель Линя

Модель Линя [21, 124] базируется на следующих основных гипотезах:

• Скорости полных деформаций поликристаллического агрегата представляется суммой упругих и пластических составляющих:

.

• Скорости полных деформаций отдельных зерен поликристалла (n = 1,2,…,N, N – число кристаллитов (зерен) в представительном макрообъеме) равны скоростям полных деформаций поликристаллического агрегата (т.е. для скоростей полных деформаций используется гипотеза Фойгта; заметим, что в ряде работ она называется гипотезой Тейлора):

.

• Пластические деформации являются изохорическими, изменение объема определяется первым инвариантом упругих деформаций.

• Пластические деформации обусловлены сдвигом по кристаллографическим системам скольжения и подчиняются закону Шмида.

• Упрочнение изотропно и определяется суммарным сдвигом по всем активным системам скольжения.

Рассмотрим соотношения для произвольно выбранного зерна (для упрощения записи ниже индекс номера зерна опущен). При наличии одной активной системы скольжения k скорость сдвига в ней связана со скоростью пластической деформацией d^p соотношением:

.

При активизации нескольких систем скольжения девиатор пластической деформации определяется выражением:

,

где K – число активных систем скольжения.

В соответствии с гипотезой 5 критические сдвиговые напряжения в каждой системе скольжения одинаковы и зависят от суммарного сдвига:

,

или в скоростях

,

где – производная функции f по накопленному сдвигу.

Скорости упругих деформаций в зерне определяются соотношением:

.

В предположении изотропии упругих характеристик (отметим, что эта гипотеза принята только для упрощения изложения модели, в современных работах при расчетах часто используется анизотропный закон) скорость изменения девиатора напряжений определяется согласно (изотропного) закона Гука

,

скорость изменения шаровой части тензора напряжений (или среднего напряжения ) определяется также согласно закону Гука:

.

Заметим, что в случае исследования процессов с большими градиентами перемещений (т.е. геометрически нелинейных) материальная производная девиатора напряжений в должна быть заменена на производную, не зависящую от выбора системы отсчета (чаще всего – коротационную [31]).

Рассмотрим процесс нагружения в пространстве девиаторов деформаций, связь шаровых составляющих тензоров деформаций и напряжений осуществляется согласно . Для решения (физически и/или геометрически) нелинейных задач, как правило, необходимо использовать пошаговые процедуры, согласно которым весь интервал нагружения разбивается на ряд малых шагов (приращений нагрузки или перемещений).

Рассматривается представительный макрообъем поликристаллического агрегата. В начальный момент материал полагается находящимся в естественной конфигурации, в силу чего все компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю; ориентации всех СС полагаются заданными (тем или иным законом распределения). Для представительного макрообъема полагается заданным закон нагружения (т.е. заданы все компоненты тензора деформации как функции времени (или возрастающего параметра), а следовательно, в каждый момент нагружения известны компоненты тензора деформации скорости).

На первом шаге нагружения материал является упругим; задавая тензор деформации скорости перемещений в соответствие с и учитывая, что d^e = d , определяется скорость изменения девиатора напряжений. Интегрируя, по последней определяется момент достижения в одной из СС (например, с номером 1) сдвигового напряжения, равного по модулю начальному критическому напряжению _c0 = f(0). После этого момента начинается неупругое скольжение по системе 1 при возрастающем девиаторе деформации e (последний определяется интегрированием d). При этом в каждый момент деформирования должно выполняться условие пластического течения

,

или

.

При заданном в каждый момент времени е представляет собой уравнение для определения .

При выполнении и возрастающем девиаторе деформации e (в каждый момент времени определяемого интегрированием d с использованием любой из известных схем) одиночный сдвиг продолжается до тех пор, пока в некоторой другой системе скольжения (например, 2-й) сдвиговое напряжение ⁽²⁾ не достигнет критического значения . Начиная с этого момента, возрастание e вызывает двойственное скольжение по системам 1 и 2, при этом должны выполняться условия: ,

или

;

– система двух алгебраических уравнений для определения .

Аналогичным образом рассматривается вовлечение в скольжение 3-й, 4-й и 5-й систем скольжения. При этом на каждой из активных систем скольжения должно выполняться условие текучести. При продолжающемся активном деформировании возможно возникновение ситуации, когда условие текучести выполняется одновременно более чем в пяти системах скольжения (при использовании закона типа шмидовского для ГЦК–кристаллов это соответствует нахождению ИТН в одной из вершин, где пересекаются 6 или 8 гиперплоскостей). В этом случае, опираясь на экспериментально известный факт о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным (активным), предпочтение отдают ранее вовлеченным в скольжение системам.

В конкретных расчетах обычно используют систему уравнений типа , записанную в приращениях (или в скоростях), например, вида:

где f ' = df/d_, или – накопленный суммарный сдвиг по всем активным системам скольжения (в том числе и бывшим активными ранее, в текущий момент деформирования перешедших в разряд пассивных).

Для перехода к модели поликристалла используется один из известных подходов к осреднению (чаще всего – ориентационное осреднение).