2.4. Закон Шмида

При построении упругопластических определяющих соотношений для монокристалла часто используется формализм теории пластического течения. В последней одним из главных является понятие поверхности текучести. При этом в качестве уравнения, определяющего поверхность текучести монокристалла, обычно используется соотношение Шмида , которое можно записать в виде:

,

где – полное число СС рассматриваемого монокристалла, – ориентационный тензор k-й СС; часто в качестве ориентационного тензора применяется его симметризованная составляющая . Первоначально закон Шмида применялся только для определения момента начала неупругого деформирования кристаллитов, позднее он стал использоваться для произвольного момента деформирования, при этом критические напряжения для каждой СС зависят от истории деформирования и для их определения требуется формулировка соответствующих эволюционных уравнений – законов упрочнения СС (см. п. 2.5).

Отметим, что в полагается равенство пределов текучести в k-ой системе скольжения при «прямом» и «реверсивном» нагружении, и тогда модель не будет описывать хорошо известный эффект Баушингера [51]. Как этого избежать? Указанное ограничение может быть легко устранено путем переопределения понятия системы скольжения, когда система скольжения определяется нормалью к плоскости скольжения и «положительным» или «отрицательным» направлениями скольжения в ней краевых дислокаций, т.е. осуществляется удвоение числа систем скольжения:

.

Далее под К будет пониматься именно число систем скольжения, равное удвоенному числу кристаллографических систем скольжения. Другим вариантом, не требующим удвоения числа СС, является переход к комбинированному закону упрочнения, введение для каждой СС дополнительного параметра – «остаточных микронапряжений», – и эволюционного уравнения для него.

Полагая неизменным положение кристаллографических осей (при рассмотрении больших деформаций и разворотов монокристаллов – в локальной системе координат, связанной с монокристаллом), нетрудно видеть, что соотношения (или ) представляют собой совокупность К линейных уравнений относительно компонент девиатора напряжений s. Следовательно, в пространстве напряжений соотношения (или ) определяют К гиперплоскостей, или К-гранник, называемый многогранником текучести. Например, для ГЦК–кристаллов поверхность текучести представляет собой 24-гранник. В работах [48] подтверждены известные данные [118, 119] о том, что в вершинах критерий Шмида одновременно выполняется или для 6, или для 8 СС; результаты согласуются также с полученными ранее в рамках модели Линя [41].

Как отмечено выше, соотношение в физической теории пластичности часто используется в качестве критерия текучести не только для определения момента начала текучести, но и для произвольного момента деформирования. В этом случае зависит от истории деформирования. При одиночном скольжении по k-ой активной системе скольжения происходит обычно увеличение критического напряжения активной системы, называемое деформационным («активным») упрочнением и зависящее от величины сдвига. А что будет происходить в других СС, даже если они не являются в данный момент активными? Из физических соображений нетрудно предположить, что изменение плотности дислокаций в активных СС, сопровождающее пластическую деформацию, неминуемо повлияют на поведение дислокаций в других СС. Действительно, наряду с активным упрочнением в экспериментах наблюдается увеличение критических напряжений в других системах, где сдвиг в процессе одиночного скольжения отсутствует; такое увеличение называется скрытым («латентным») упрочнением . Последнее обусловлено увеличением плотности дислокаций в активных системах скольжения, являющихся препятствиями (дислокациями леса) для дислокаций других систем скольжения, равно как и возникновением других барьеров дислокационного происхождения.

Как показывают эксперименты, при множественном скольжении увеличение критического напряжения сдвига на единицу сдвига оказывается большим, чем при одиночном скольжении. Каким образом это можно ввести в физическую модель? Тейлором был предложен закон изотропного упрочнения, согласно которому приращения критических касательных напряжений во всех активных системах скольжения одинаковы и определяются суммарным сдвигом по всем активным системам. Указанный закон широко используется в различных модификациях физической теории пластичности. Кроме того, во многих работах принимается, что деформационное и скрытое упрочнения одинаковы; в настоящей работе данное предположение также будет частично использоваться. В то же время следует отметить, что экспериментальные исследования свидетельствуют о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным.

Нетрудно видеть, что градиент поверхности текучести в пространстве напряжений определяется соотношением:

.

Если изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) находится на одной из граней многогранника текучести (т.е. выполняются условия пластического деформирования), для определенности – на грани с номером l, то активной является система скольжения l и направление приращения пластической деформации определяется градиентом к поверхности текучести. Иначе говоря, в данном случае выполняется принцип градиентальности для поверхности текучести, т.е. справедлив ассоциированный закон пластического течения. При расположении ИТН на ребре многогранника текучести приращение девиатора пластической деформации de^p имеет направление, определяемое линейной комбинацией нормалей к пересекающимся граням. Аналогичным образом определяется направление de^p при нахождении ИТН в вершине многогранника (направление de^p лежит внутри конуса, ограниченного нормалями к пересекающимся граням).