Вопросы к главе 1

1. Дайте определение физических теорий пластичности.

2. В каких условия возникает необходимость перехода к геометрически нелинейным определяющим соотношениям?

3. Сформулируйте аксиому независимости от выбора системы отсчета.

4. Дайте определения конвективных и коротационных производных.

5. В чем состоит основное отличие коротационных и конвективных производных?

6. Дайте определения квазитвердого и деформационного движения.

7. В каких случаях требуется осуществлять переход к моделям обобщенных континуумов?

8. В чем состоят основные отличия моделей обобщенных континуумов от классических?

9. Приведите вывод соотношений модели обобщенного континуума В.Койтера.

10. Изложите основные положения модели С.Фореста и Р.Сиверта.

11. Получите определяющие соотношения модели С.Фореста и Р.Сиверта при использовании двух функций текучести.

Глава 2. Механизмы неупругого деформирования

2.1. О дислокационных механизмах неупругого деформирования

К числу важнейших «носителей» механизмов неупругого деформирования

моно- и поликристаллов относятся одномерные (линейные) дефекты кристаллической решетки – дислокации; без знания этих дефектов, механизмов их возникновения и взаимодействия с другими дефектами невозможно понимание физической природы пластической деформации и сопровождающих последнюю процессов упрочнения – разупрочнения материалов и других эффектов, наблюдаемых на макроуровне.

Существовавшее в начале XX века предположение о сдвиге атомных плоскостей идеального кристалла относительно друг друга как возможном механизме неупругого деформирования столкнулось с огромным расхождением теоретических и экспериментальных данных. Оценки необходимых для реализации сдвига касательных напряжений (так называемой теоретической прочности) были получены различными авторами и приведены во многих источниках [30, 32, 147]. Весьма изящный способ определения теоретической прочности на сдвиг был предложен Я.И.Френкелем [30], который рассмотрел сдвиг одной атомной цепочки относительно другой. Пусть d – расстояние между двумя кристаллографическими плоскостями (совпадающими с плоскостью сдвига), а а – расстояние между атомами в направлении сдвига. При малом относительном сдвиге х атомных слоев сдвиговое напряжение определяется законом Гука (G – модуль сдвига):

.

Очевидно, что в силу периодичности расположения атомов в слоях смещение одного слоя относительно другого на величину х=а переведет решетку в исходное состояние (при нулевых напряжениях), в силу чего сдвиговые напряжения можно принять изменяющимися по синусоидальному закону:

,

где – максимальное сдвиговое напряжение, которое может выдерживать решетка. В предположении малости х/а последнее соотношение можно записать в виде:

_.

Полагая, что и приравнивая правые части и , получаем искомую оценку так называемой теоретической прочности: G/(2π). Позднее было получено уточненное значение G/30.

Несколько с иных позиций вопрос об определении напряжения сдвига, необходимого для движения дислокации рассмотрели Пайерлс и Набарро [55]. Они определили изменение энергетического профиля поверхности скольжения при возникновении возмущений от движения дислокации из одного равновесного положения до другого, также предполагая, что напряжение сдвига, действующее по плоскости скольжения, является периодической функцией относительно смещения соседних плоскостей. Используя синусоидальное приближение, было показано, что напряжение страгивания краевой дислокации определяется выражением:

,

где v – коэффициент Пуассона, а = b (модуль вектора Бюогерса). Понятно, что полученные оценки являются качественными, позволяющими оценить порядок величины критического напряжения, соответствующего началу пластического деформирования.

Однако эксперименты, проведенные на широком классе отожженных кристаллов различных металлов, показывают, что значения сдвиговых критических напряжений равны (10^-6÷10^-4)G. Объяснение этому было дано в середине 30-х годов нашего столетия, в первую очередь – в практически одновременно опубликованных в 1934 г. работах Тейлора, Орована и Поляньи (результаты были получены авторами независимо друг от друга). Отмеченное несоответствие объяснялось цитируемыми авторами и другими исследователями наличием в кристаллах специфических линейных дефектов — дислокаций. В этом случае для осуществления неупругого деформирования нет необходимости одновременного разрушения связей всех соседствующих вдоль плоскости сдвига атомов, достаточно локального разрушения и восстановления таких связей вдоль линии дислокации по эстафетному механизму. Установление такого типа дефектов в качестве основного «носителя» неупругой деформации позволило существенно улучшить соответствие теоретических и экспериментальных данных.

Два основных типа дислокаций – краевые и винтовые. Основной характеристикой дислокации является вектор Бюргерса, определяющий различие замкнутого контура в бездефектном кристалле и замкнутого контура, окружающего линию дислокации (контур Бюргерса).

Схематично образование краевой дислокации можно представить следующим образом: в идеальном кристалле делается плоский надрез, в который вставляется лишняя полуплоскость (экстраплоскость), после чего системе дают возможность отрелаксировать (см. рис. 2.1.1). После релаксации правильное строение кристалла восстанавливается во всем объеме, за исключением узкой области (с размерами в несколько межатомных расстояний), примыкающей к краю экстраплоскости.

Рис. 2.1.1. Схема образования краевой дислокации (экстраплоскость и линия дислокации перпендикулярна плоскости рисунка)

Плоскость, перпендикулярная экстраплоскости и определяемая нормалью n, называется плоскостью залегания или плоскостью скольжения краевой дислокации; вектор Бюргерса b краевой дислокации расположен в плоскости залегания и определяет направление возможного движения (скольжения) дислокации. Край экстраплоскости определяет положение линии дислокации, вдоль которой направляется единичный вектор , так, что тройка является правой тройкой. Плоскость залегания краевой дислокации, таким образом, совпадает с плоскостью . В зависимости от расположения экстраплоскости выделяют положительные и отрицательные краевые дислокации, обозначаемые соответственно как  и T. Под действием приложенных напряжений краевые дислокации могут скользить в плоскости залегания (в направлении вектора Бюргерса), такое их движение называется консервативным, или двигаться в направлении вектора n (переползать) за счет присоединения к краю экстраплоскости вакансий или межузельных атомов, такое движение называется неконсервативным. При встрече двух параллельных краевых дислокаций противоположных знаков они взаимно уничтожаются, аннигилируют, восстанавливая правильное строение решетки.

Винтовую дислокацию схематично вводят обычно следующим образом: в цилиндрическом бездефектном кристалле делается радиальный надрез до оси цилиндра; вдоль пересечения плоскости надреза и боковой поверхности цилиндра края надреза смещаются на одно межатомное расстояние и соединяются, после чего дают системе отрелаксировать. В полученной таким образом конфигурации нарушения правильного строения кристалла сосредоточено в узкой области вблизи оси цилиндра, которая является линией винтовой дислокации и определяется единичным вектором касательной l. Вектор Бюргерса винтовой дислокации параллелен линии дислокации. В зависимости от направления вектора Бюргерса по соглашению вводятся положительные и отрицательные винтовые дислокации, обозначаемые как и соответственно. Винтовые дислокации противоположных знаков также могут аннигилировать при встрече.

В реальных кристаллах дислокации в общем случае имеют криволинейную форму, в каждой точке линии дислокации могут присутствовать краевые и винтовые составляющие. Часто дислокации представляют собой замкнутые петли. При этом из ФТТ известны следующие геометрические свойства дислокаций: вектор Бюргерса постоянен в каждой точке данной дислокации; дислокации не могут обрываться в кристалле, они могут либо выходить на поверхность кристалла, либо образовывать замкнутые петли, либо разветвляться; в каждой точке ветвления суммарный вектор Бюргерса исходящих из узла дислокаций равен нулевому вектору.

Несмотря на то, что дислокации не являются равновесными дефектами, в

реальных кристаллических материалах всегда присутствует значительное количество дислокаций. Количественной мерой при этом служит плотность дислокаций, определяемая суммарной длиной дислокаций в единице объема. Даже в хорошо отожженных кристаллах плотность дислокаций составляет 10⁵-10⁸ см/см³ (см^-2), доходя в деформированных кристаллах до 10¹²-10¹⁴ см^-2 (10⁴-10⁶ км в 1 мм³!). Дислокации в кристаллических материалах образуются уже на стадии кристаллизации из расплавов, растворов или газообразной фазы. В процессах термообработки возможными механизмами образования дислокаций (в виде петель) являются диффузионные процессы, приводящие к возникновению дисков вакансий (с последующим их «схлопыванием») и межузельных атомов.

Таким образом, основным механизмом пластического деформирования является движение дислокаций. Казалось бы, при достижении критических напряжений в образце (по крайней мере, монокристаллическом) дальнейшее пластическое деформирование должно продолжаться до каких угодно деформаций при сохраняющейся нагрузке. Однако для большинства металлов и сплавов даже в опытах на монокристаллических образцах обнаруживается, что для продолжающейся пластической деформации требуется увеличивать прикладываемую к образцу нагрузку; иначе говоря, материалы упрочняются в процессе пластического деформирования. В чем причина такого поведения материалов? Оказывается, что «ответственность» за возникновение различных эффектов упрочнения (и многих других эффектов, отмеченных в [51]) несут различные механизмы взаимодействия дислокаций с другими дефектами – точечными, линейными, поверхностными и объемными. Т.е. движущиеся дислокации, встречая на своем пути другие дефекты, вступают с ними в реакции, во взаимодействие, приводящее к затрудненому движению дислокаций. В связи с этим понимание указанных процессов является весьма важным для построения ОС, особенно – для развитых пластических деформаций.

Выше рассматривались так называемые полные (или единичные, или совершенные) дислокации с вектором Бюргерса, равным одному из трансляционных векторов решетки, перенос на который (или n-кратный перенос) делает конечное состояние решетки неотличимым от исходного. Однако в типичных металлических кристаллах имеются дислокации с отличными от трансляционных векторами Бюргерса, которые называются частичными дислокациями. Такие частичные дислокации могут взаимодействовать друг с другом с образованием полных дислокаций; напротив, полные дислокации могут диссоциировать на несколько частичных, т.е. частичные дислокации сами могут рассматриваться как продукт реакции дислокаций. Рассмотрим более подробно частичные дислокации на примере ГЦК–кристаллов. В ГЦК решетке имеет место следующее расположение атомов (рис.2.1.2): первый слой составляют плотноупакованные «шары», позиция которых в проекции на плоскость плотнейшей упаковки (111) обозначена буквой А. Положение центров «шаров» второго слоя в проекции на ту же плоскость обозначены буквой В, третьего – как С, далее соблюдается периодичность (АВС...).

Такое расположение плотноупакованных слоев ГЦК–решетки обозначают как упаковку АВСАВСАВС…. Заметим, что для ГПУ – решетки имеет место периодичность АСАСАС….

В b1 b2 b А А А С

Рис. 2.1.2. Расположение атомов ГЦК – кристаллов в проекции на плоскость (111)

Предположим, что в кристаллической решетке имеется (полная) краевая дислокация, экстраплоскость которой перпендикулярна плоскости рисунка, ее край совпадает со слоем В, вектор Бюргерса b ( ) перпендикулярен экстраплоскости и расположен в плоскости плотнейшей упаковки (рис. 2.1.2). Единичный акт перемещения полной дислокации осуществляется переходом атомов экстраплоскости из положения B в новое положение того же типа В. Однако энергетически выгоднее атомам экстраплоскости вначале перейти в соседнее положение лунки С (на вектор ); при этом локально нарушается «правильная» последовательность АВСАВС, которая на некоторой части слоев заменяется на последовательность АСАС. Эта часть слоев называется дефектом упаковки и трактуется как поверхностный дефект кристаллической решетки. Затем атомы переходят в новое положение смещением на вектор , восстанавливая «правильное» чередование слоев. Поверхность дефекта упаковки отделяется от остальной части кристалла выделенной линией, называемой частичной дислокацией, и обозначается как  и .

Для частичных дислокаций вектор Бюргерса не совпадает с вектором, равным межатомным расстояниям, и не перпендикулярен линии (краевой) дислокации. Частичные дислокации с вектором Бюргерса, лежащим в плоскости их скольжения, называются дислокациями Шокли; на рис.2.1.2 изображены именно дислокации Шокли с векторами Бюргерса b₁ и b₂. Совокупность двух частичных дислокаций и дефекта упаковки между ними называется расщепленной дислокацией.

Важнейшей характеристикой способности кристаллического материала к образованию дефектов упаковки (а, следовательно, и расщепленных дислокаций) и определяющей ширину дефекта упаковки, является энергия дефекта упаковки Е_ДУ (ЭДУ). Численно ЭДУ равна силе отталкивания частичных дислокаций (на единицу длины), или силе поверхностного натяжения дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки и тем более кристалл склонен к образованию расщепленных дислокаций. Значения ЭДУ существенно различаются для разных металлов; так, для меди Е_ДУ равна примерно 40 эрг/см², для алюминия – 200 эрг/см². Легирование металлов, как правило, приводит к существенному снижению ЭДУ; например, для бронз (Cu+Al) с содержанием 4.5 и 7% Al ЭДУ составляет соответственно 20 и 2 эрг/см².

Если векторы Бюргерса частичных дислокаций лежит в плоскости скольжения (частичные дислокации Шокли), то расщепленная дислокация может совершать консервативное движение. В то же время для совершения переползания (например, при преодолении препятствий) требуется стягивание расщепленной дислокации к обычной. Отметим, что ширина расщепленной дислокации может быть уменьшена до нуля под действием приложенных внешних и внутренних напряжений, т.е. расщепленная дислокация может быть превращена (стянута) в обычную дислокацию.

Существуют частичные дислокации, вектор Бюргерса которых не лежит в плоскости скольжения, в силу чего они не способны к консервативному перемещению (скольжением). К таким сидячим дислокациям относятся, например, дислокации (или петли сидячих дислокаций) Франка, которые могут образовываться в результате, например, схлопывания вакансионного диска в плоскости плотнейшей упаковки. Вектор Бюргерса такой дислокации перпендикулярен плоскости плотнейшей упаковки, в силу чего дислокационная петля, окружающая дефект упаковки, не может скользить в своей плоскости. Дислокации Франка являются сильными препятствиями для движения других дислокаций.

При движении двух расщепленных дислокаций в пересекающихся плоскостях скольжения они могут образовывать весьма прочные барьеры (например, барьеры или дислокации Ломера – Коттрелла), запирающие обе системы скольжения; ниже механизм их образования будет рассмотрен подробнее. С макроскопической точки зрения образование барьеров Ломера–Коттрелла ведет к существенному увеличению деформационного упрочнения в материалах с низкой ЭДУ по сравнению с материалами со средней и высокой ЭДУ. По мнению авторов, именно образование барьеров Ломера–Коттрелла ответственно за эффекты дополнительного упрочнения при сложном циклическом нагружении (см. гл. 2 [51]); проведенный анализ показал, что именно материалы с низкой ЭДУ обнаруживают склонность к дополнительному упрочнению.

Выше отмечалось, что дислокации могут разветвляться, что является также одним из видов дислокационных реакций. Напомним одно из основных правил теории дислокаций – суммарный вектор Бюргерса дислокаций, вступающих в реакцию (например, ветвящейся дислокации) должен быть равен суммарному вектору Бюргерса образовавшихся дислокаций.

Направление реакции определяется энергетическим критерием Франка: дислокационная реакция идет в направлении уменьшения внутренней энергии кристалла. Заметим, что это положение чрезвычайно часто принимается на веру в естествознании: полагается, что природа устроена по принципу минимизации внутренней энергии. В механике экстремальные принципы также применяются весьма часто, однако их принято доказывать. В данной ситуации, однако, критерий Франка может быть принят, поскольку он прошел эмпирическую проверку в течение десятилетий. Поскольку энергия дислокации пропорциональна квадрату ее вектора Бюргерса, критерий Франка иначе может быть сформулирован следующим образом: дислокационная реакция происходит в направлении уменьшения суммы квадратов векторов Бюргерса получающихся дислокаций в сравнении с суммой векторов Бюргерса исходных дислокаций.

Таким образом, если через обозначить векторы Бюргерса дислокаций, вступающих в реакцию, а через – получившихся в ее результате, то должно выполняться соотношение

причем реакция произойдет только в том случае, если выполняется критерий Франка:

.

В частности, указанным правилам подчиняются реакции диссоциации полных дислокаций на частичные, объединения частичных дислокаций в полные; критерий Франка объясняет, например, распад n-кратной дислокации на n единичных.

Для наглядности анализа реакций дислокаций в кубических кристаллах широко используется так называемых стандартный тетраэдр Томпсона (СТТ). Рассмотрим построение СТТ на примере ГЦК–кристаллов с параметром решетки а. В качестве вершин тетраэдра выберем одну из вершин куба (например, в начале координат кристаллографической системы координат (КСК)); три другие вершины совпадают с ближайшими к началу КСК центрами граней; иначе говоря, в терминах кристаллографических координат вершины тетраэдра определяются векторами:

. Грани тетраэдра представляют собой равносторонние треугольники с длиной стороны . Центры граней, противоположных вершинам , обозначим соответствующими строчными буквами греческого алфавита . Теперь разрежем тетраэдр вдоль всех ребер, содержащих вершину , и развернем его в плоскости грани АВГ (рис.2.1.3). Все грани СТТ принадлежат системе кристаллографических плоскостей {111} плотнейшей упаковки (АВГ – (111), ). Ребра тетраэдра Томпсона равны векторам Бюргерса полных дислокаций

( ).

Частичные дислокации Шокли с векторами Бюргерса системы а/6 <112> соответствуют векторам, соединяющим вершины тетраэдра с центрами принадлежащих им граней, например,

Рассмотренная выше реакция расщепления полной дислокации на частичные дислокации Шокли в обозначениях СТТ представляется в виде: (рис. 2.1.3).

А В Г

Рис. 2.1.3. Развертка на плоскости стандартного тетраэдра Томпсона

Сидячие дислокации Франка имеют вектор Бюргерса, перпендикулярный плоскостям плотнейшей упаковки. В обозначениях СТТ векторы Бюргерса дислокаций Франка обозначаются как . Дислокации Франка, взаимодействуя с частичными дислокациями Шокли, могут порождать полные дислокации, например: .

Выше уже упоминался один из известных механических эффектов – так называемое дополнительное циклическое упрочнение [51], которое испытывают некоторые материалы при сложном циклическом нагружении. Как показал проведенный анализ, склонность к данному эффекту проявляют материалы с низкой ЭДУ, для которых характерно наличие расщепленных дислокаций. Одним из возможных механизмов появления дополнительного упрочнения при сложных нагружениях (в том числе – сложных циклических) авторы считают образование дислокаций (или барьеров) Ломера–Коттрелла, в связи с чем целесообразно остановиться на этой реакции более детально [32].

Предположим, что в плоскости (1 1 ) расположена дислокация (а/2[0 1 1]), а в плоскости АВГ (1 1 1) – дислокация ВГ (а/2[0 1 ]), способные скользить в своих плоскостях, будучи параллельными линии пересечения плоскостей ВА. Известно, что такие дислокации взаимно притягиваются. В материалах с низкой ЭДУ полные дислокации испытывают склонность к расщеплению; в данном случае дислокация расщепляется согласно реакции (а/2[0 1 1]= а/6[1 1 2]+ а/6[ 1 2]) на две частичные дислокации Шокли и дефект упаковки между ними (рис.2.1.3). Пусть в плоскости АВГ дислокация ВГ расщепляется по схеме (а/2[1 0 ]= а/6[2 ]+ а/6[1 1 ]). Плоскости скольжения этих двух расщепленных дислокаций пересекаются по ребру АВ, при этом частичные дислокации и испытывают взаимное притяжение. Поэтому дислокации продвигаются к линии пересечения рассматриваемых плоскостей АВ и вступают в реакцию + = γδ (а/6[ 2 1]+ а/6[2 ]= а/6[1 1 0]) с образованием частичной дислокации , называемой вершинной (или удерживающей) дислокацией. Вектор Бюргерса вершинной дислокации а/6 [1 1 0] и ее линия перпендикулярны и расположены в одной плоскости (001), т.е. дислокация является краевой. Нетрудно проверить, что такая реакция удовлетворяет критерию Франка. В результате получается совокупность трех частичных дислокаций (вершинной и двух дислокаций Шокли) и двух дефектов упаковки, расположенных в пересекающихся плоскостях. Такой клиновидный дефект и называется дислокацией (барьером) Ломера – Коттрелла. Дислокация Ломера – Коттрелла не может скользить, поскольку все три частичные дислокации имеют различные плоскости залегания, в силу чего они являются мощными препятствиями для других дислокаций в двух пересекающихся плоскостях, содержащих частичные дислокации Шокли. Такие сидячие дислокации присущи материалам с низкой ЭДУ, таким, например, как нержавеющие стали, бронзы.