1.5. Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)
Теорема Штейнера:
Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.
Для прямоугольника высотой h и шириной b :
Осевой момент инерции:
Момент сопротивления изгибу:
момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:
т.к.
,
то
Для круга:
Полярный момент инерции:
Осевой момент инерции:
Момент сопротивления кручению:
Т.к.
,
то
Момент сопротивления изгибу:
2. План выполнения расчетно-графической работы «Геометрические характеристики плоских сечений»
2.1. Выписать следующие справочные данные из раздела 3:
для равнобокого уголка /пример обозначения №4 (4)
b – ширина полки,
F – площадь поперечного сечения,
z0 – координата центра тяжести,
- осевой момент инерции сечения,
- центробежный момент инерции
для неравнобокого уголка /пример обозначения №4/2,5 (4)
B – ширина большей полки,
b – ширина меньшей полки,
F – площадь поперечного сечения,
x0 , y0 – положение центра тяжести
,
-
осевые моменты инерции сечения,
- центробежный момент инерции
для швеллера
h – высота,
b – ширина полки,
F – площадь поперечного сечения,
z0 – координата центра тяжести,
, - осевые моменты инерции сечения
для двутавра
h – высота,
b – ширина полки,
F – площадь поперечного сечения,
, - осевые моменты инерции сечения
для полосы
- вычислить площадь поперечного сечения
- вычислить осевые моменты инерции сечения по формулам
,
2.2. На миллиметровой бумаге формата А4 в выбранном Вами масштабе начертить сечение, составленное из стандартных профилей, пронумеровать: №1 – уголок, №2 – швеллер или двутавр, №3 – полоса.
2.3. Выбрать положение координатных осей. Рационально, если одна из осей проходит через центр тяжести одной из фигур, и все оставшиеся координаты центров тяжести будут положительными.
Определить положение центра тяжести сечения по формулам:
,
Нанести положение центра тяжести на чертеж.
2.4. Определить расстояния:
между центральной осью сечения yc и осью yc1 , проходящей через центр тяжести уголка
Если
, то b1
, будет со знаком «-»
между центральной осью сечения yc и осью yc2 , проходящей через центр тяжести швеллера (или двутавра)
Если
, то b2
, будет со знаком «-»
между центральной осью сечения yc и осью yc3 , проходящей через центр тяжести полосы
Если
, то b3
, будет со знаком «-»
между осями xc и xc1
Если
, то a1
, будет со знаком «-»
определить a2 и a3
2.5. Вычислить с помощью теоремы Штейнера осевые моменты инерции сечения по формулам:
,
где
- осевой момент инерции для уголка
(указан в справочнике)
- осевой момент инерции швеллера или
двутавра (указан в справочнике)
- осевой момент инерции для полосы
вычислить по формулам:
или
в зависимости от расположения полосы по отношению к оси 0xc3 . Размер стороны, перпендикулярной оси 0xc3 , берется в третьей степени (в кубе). Аналогично для осевых моментов неравнобокого уголка, швеллера или двутавра – значение осевого момента из справочника берется большее, если большая сторона перпендикулярна оси 0x , и, соответственно, меньшее, если меньшая сторона перпендикулярна оси 0x
F1 , F2 , F3 – площади поперечных сечений.
где
- осевой момент инерции для уголка
(указан в справочнике). Для равнобокого
уголка
.
Для неравнобокого уголка выбирается
меньшее значение, если большая сторона
уголка перпендикулярна оси 0xc1
, а меньшая сторона уголка перпендикулярна
оси 0yc1
.
- осевой момент инерции швеллера или
двутавра (указан в справочнике). Большее
или меньшее значение зависит от
расположения стандартного профиля по
отношению к оси.
- осевой момент инерции для полосы
Центробежный момент инерции сечения:
где
- центробежный момент инерции для уголка
(берется из справочника). При расположении
уголка в I и III
четверти декартовой системы координат
знак у центробежного момента «-», во II
и в IV четверти – знак «+».
Знаки a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 учитываются.
- центробежный момент инерции для
швеллера или двутавра.
- центробежный момент инерции для полосы.
2.6. Вычислить значение угла поворота α:
Если значение угла α положительное – оси поворачиваются против часовой стрелки.
2.7. Вычислить значение главных осевых моментов инерции
2.8. Заполнить таблицу №1.
