Литература

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 644с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельников Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 598с.

3. Калиткин Н.Н., Численные методы. – М.:Наука, 1978.– 512с.

4. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчин М.П. Численные методы. – М.: Просвещение , 1991. – 176с.

Содержание.

Введение 3

1. Абсолютная и относительная погрешности. 3

1..1 Число верных знаков приближенного числа. 4

1.2 Погрешность функций 4

1.3 Погрешность простейших функций двух переменных. 5

1.4 Примеры и задания. 6

2. Приближение функций 9

2.2 Интерполяционный полином Лагранжа 10

Погрешность вычисления: пусть – функция n+1 – раз дифференцируемая и – приближающий её интерполяционный полином. 11

2.3 Интерполяционный полином Ньютона. 11

n=1, то выражение для полинома можно записать в виде: , т. е. поведение приближающей функции с добавлением узлов, уточняется вблизи точки х₀. Конструкция интерполяционного полинома Ньютона такова: 11

11

При расчётах и алгоритмизации вычисления интерполяционного полинома применяется таблица конечных разностей: 13

Таблица 2.2 13

2.3 Примеры и задания для практических занятий 13

Пример. Построить интерполяционные полиномы Ньютона по предыдущей таблице узловых точек. 14

; 14

; 14

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений 16

3.1 Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений 17

3.2 Метод хорд и секущих. 17

3.3 Метод касательных. 18

3.4 Скорость сходимости итерационных методов. 18

3.5 Пример и задание для практических занятий. 20

4. Численное интегрирование 21

4.1 Метод Ньютона – Котеса 22

4.2 Метод прямоугольников. 22

4.3 Метод трапеций. 23

4.4 Оценка погрешности метода 24

4.5 Метод парабол. (Метод Симпсона) 24

4.6 Оценка погрешности метода парабол 25

4.7 Квадратурные формулы Гаусса 25

4.8 Задание для практических занятий. 26

5. Численные методы линейной алгебры. 28

5.1. Численное решение СЛАУ. 28

5.2 Прямые методы решения СЛАУ 31

5.2.1 Метод Гаусса (Метод исключений) 31

5.2.2 Вычислительная схема метода Гаусса. 32

5.2.3 Ортогонализация матриц 34

5.2.4 Решение системы уравнений методом ортогонализации 35

5.3. Итерационные методы решения СЛАУ. 36

5.3.1. Метод простой итерации. 36

Действительно, тогда 37

5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя. 38

5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (ОСП) для простой итерации. 40

5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц 44

5.5. Примеры и задания к теме 45

5.5.1. Точные методы решения СЛАУ 45

5.5.2. Итерационные методы решения СЛАУ 48

5.5.3 Нахождение собственных значений и векторов 52

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 54

6.1 Метод разложения в ряд Тейлора. 54

6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта 54

6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков 55

6.3.1 Метод Эйлера 55

6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника 56

6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков 56

6.5. Задание к теме и пример решения ОДУ 57

Литература 59

Содержание. 60