Лабораторная работа № 6 Тема: Решение систем линейных уравнений методом итераций

Цель работы: Найти корни системы линейных уравнений методами итераций.

1. Теоретические сведения

Имеется система трех линейных уравнений с определителем не равным нулю, а значит с единственным решением.

a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂+ a₁₃ х₂= b₁,

a₂₁ х₁+ a₂₂ х₂+ a₂₃ х₃ = b₂, (2)

a₃₁ х₁+ a₃₂ х₂ + a₃₃ х₃ = b_3.

Разрешаем первое уравнение относительно х₁ , второе относительно х₂ и третье относительно х₃ , т.е. приводим исходную систему уравнений к нормальному виду.

Для первого уравнения получим

х₁ =

Введем обозначения

= ; = ; = .

В результате будет получена система линейных уравнений нормального вида

х₁ = + х₂ + х₃

х₂ = + х₁ + х₃ (3)

х₃ = + х₁ + х₂

Для решения системы необходимо принять начальные приближения и утонить их в процессе решения. Если ничего неизвестно о значениях корней, то за начальное приближение обычно принимают

, т.е.

; ; .

Начальные приближения подставляются в систему нормального вида (3) и после вычисления будут получены следующие приближения . Для первого уравнения этой системы получим

= + +

Если последовательность приближений ………. имеет предел, то он является приближенным решением исходной системы и итерационный процесс сойдется.

Признаком сходимости итерационного процесса для системы линейных уравнений будет

| (i = 1, 2, ….., n ) , (4)

т.е. абсолютная величина ведущего элемента а₁₁, а₂₂ …..а_nn больше суммы остальных элементов каждого уравнения.

Итерации продолжаются до тех пор, пока абсолютное значение разности двух соседних приближений не станет меньше или равным заданной величины точности

| - | (5)

2. Порядок выполнения работы

1. Найти корни системы линейных уравнений методом итераций, используя компьютерную программу из приложения.

2. Выполнить проверку, сохраняя в вычислениях четыре знака в дробной части чисел.

3. Задание к лабораторной работе

3.1. Выбрать систему линейных уравнений в соответствии с вариантом.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

3.2. Найти корни системы линейных уравнений методами итераций с точностью 0,001.

3.3. Сравнить результаты с результами, получеными методом главных элементов.

3.4. Оценить точность использованных методов по степени близости системы уравнений к тождеству при подстановке в нее значений корней.

3.5. Оформить отчет по лабораторной работе.

Приложение

program labrab6;

type mat=array [1..20,1..21] of real;

vec=array [1..20] of real;

var

a:mat;

x,k,y:vec;

i,l,m,n:integer;

e,t:real;

procedure matr (n:integer; var a:mat; var x:vec);

var i,j:integer;

Begin

for i:=1 to n do begin x[i]:=0.0;

for j:=1 to n+1 do begin

write ('a','(',i,',',j,')','='); readln(a[i,j]);

end;

end;

End;

procedure seid(n:integer; var l:integer;a:mat;x:vec;e:real);

var

i,j,n1:integer;

s:real;

Begin

l:=0;

s:=1;

while abs(s)>e do

begin

write('¦',l:2,' ¦');

for i:=1 to n do

begin

s:=a[i,n+1];

for j:=1 to n do

s:=s-a[i,j]*x[j];

s:=s/a[i,i]; y[i]:=x[i]+s;

if (i mod 3)=0 then writeln ( y[i]:8:4, ' ¦')

else write (y[i]:8:4, ' ¦');

k[i]:=s;

end;

for i:=1 to n do

x[i]:=y[i];

l:=l+1;

end;

End;

BEGIN

cls;

writeln ('Решение систем линейных уравнений методом итераций');

writeln;

write ('Введите порядок системы n=');read(n);

write ('Введите точность');read(e);

matr(n,a,x);

write ('+----------------------');

writeln ('-----------------+');

write ('¦ L ¦ X1 ¦ X2 ');

writeln('¦ X3 ¦');

write ('+---+----------------+--');

writeln('+---------------+');

seid(n,l,a,x,e);

end.