Лабораторная работа № 4 Тема: Решение нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных)
Цель работы: Уточнить корни нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных) с заданной точностью.
1. Теоретические сведения
Метод Ньютона (касательных) применяется для нахождения корня нелинейного уравнения f (x) = 0, лежащего на отрезке [a,b] и выполнении условия f (a) f (b) < 0.
В качестве начального приближения корня х0 может быть принята одна из границ отрезка [a,b]. Если функция f (x) выпукла со стороны левой границы, то х0=а, если выпукла со стороны правой границы, то х0=b.
Графически последовательные приближения корня получают проведением касательных к кривой f (x) в точках В0[х0, f (х0,)], В1[х1, f (х1,)],….. Вn[хn, f (хn,)] до пересечения с осью абсцисс.
Выражения для последовательных приближений корня уравнения может быть получено из уравнения касательной. Так для касательной в точке В0[х0, f (х0,)] оно имеет вид
(1)
Полагая у = 0 и х = х1 получим
х1
= х0
-
(2)
Тогда формула для вычисления последующих приближений корня примет вид
xn+1
= хn
-
(3)
При правильно выбранном начальном приближении корня необходимо выполнение следующего условия
(4)
Из (3) следует, что чем больше значение f (х) в окрестности корня, тем быстрее происходит его уточнение, т.е. метод Ньютона эффективен при большой крутизне f (х).
2. Порядок выполнения работы
Последовательно используя компьютерную программу из Приложения, уточнить каждый корень с заданной точностью.
Выполнить проверку для каждого корня, подставляя их значения в соответствующее уравнение.
Все вычисления проводить с количеством разрядов в дробной части десятичного числа минимум на один разряд больше, чем заданная точность.
3. Задание к лабораторной работе
3.1. Выбрать два уравнения в соответствии с номером варианта.
1.x-sin(x)=0.25 x3 -3x2 +9x-8=0 |
2. tg(0.58x+0.1)=x x3 -6x2-8=0 |
3. x-cos(0.387x)=0 x3 -3x2 +6x+3=0 |
4. tg(0.4x+0.4)=x2 x3-0.1x2+0.4x-1.5=0 |
5. lg(x)-7/(2x+6)=0 x3-3x2+9x+2=0 |
6. tg(0.5x+0.2)=x2 x3+x2-5=0 |
7. 3x-cos(x)-1=0 x3+0.2x2+0.5x-1.2=0 |
8. x+lg(x)=0.5 x3+3x2+1=0 |
9. tg(0.5x+0.1)=x2 x3+0.2x2+0.5x-2=0 |
10. 1+x+4sin(x)=0 x3-3x2+12x-9=0 |
11. ctg(1.05x)-x2 =0 x3-0.2x2+0.3x-1.2=0 |
12. tg(0.4x+0.3)=x2 x3-3x2+6x-2=0 |
13. x lg(x)-1.2=0 x3-0.1x2+0.4x-1.5=0 |
14. 1.8x2-sin(10x)=0 x3+3x2+6x-1=0 |
15. ctg(x)-x/4=0 x3+0.1x2+0.4x-1.2=0 |
16. tg(0.3x+0.4)=x2 x3+4x2-6=0 |
17. x-20sin(x)=0 x3+0.2x2+0.5x+0.8=0 |
18. ctg(x)-x/3=0 x3-3x2 +12x-12=0 |
19. tg(0.47x+0.2)=x2 x3-0.2x2 +0.3x+1.2=0 |
20. x2+4sin(x)=0 x3-2x2+4=0 |
21. ctg(x)-x/2=0 x3-0.2x2 +0.5x-1.4=0 |
22. 2x-lg(x)-7=0 x3-3x2 +6x-5=0 |
23. tg(0.44x+0.3)=x2 x3-0.1x2 +0.4x+1.2=0 |
24. 3x-cos(x)-1=0 x3-0.2x2 +0.5x-1=0 |
25. ctg(x)-x/10=0 x3+3x2 +12x+3=0 |
26. x2+4sin(x)=0 x3-0.1x2 +0.4x+2=0 |
27. tg(0.36x+0.4)=x2 x3-0.2x2 +0.4x-1.4=0 |
28. x+lg(x)=0.5 x3+0.4x2 +0.6x-1.6=0 |
29. ctg(x)-x/5=0 x3+x2-3=0 |
30. 2lg(x)-x/2+1=0 x3-0.2x2 +0.5x+1.4=0 |
3.2. Уточнить корни уравнений с точностью 0,001.
3.3. Оформить отчет по лабораторной работе.
Приложение
program labrab4;
Var
d,e,f,xn,xm,xp:real;
label 10;
function fun(x:real):real;
begin
{В эту строку записать после знака равно выражение для уравнения}
fun:=x*x*x-0.1*x*x+0.4*x-1.5;
end;
function fun1(x:real):real;
begin
{В эту строку записать после знака равно выражение для
первой производнойуравнения}
fun1:=3*x*x+0.2*x+0.4;
end;
function fun2(x:real):real;
begin
{В эту строку записать после знака равно выражение для
второй производнойуравнения}
fun2:=6*x
end;
begin
cls;
writeln('Решение нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных)');
writeln;
begin
writeln ('Введите данные');
write ('a=');read(d);
write ('b=');read(e);
write ('Точность=');read(f);
writeln('Значения функции на концах исходного интервала');
write('f(a)=',fun(d),' ','f(b)=',fun(e));
writeln; writeln;
if (fun(d)*fun(e)>0) then
begin
writeln('На указанном интервале нет корня');
goto 10;
end;
if (fun(d)*fun2(d)>0) then
xn:=d
else
xn:=e;
repeat
xm:=xn-(fun(xn)/fun1(xn));
xp:=xn;
xn:=xm;
writeln ('Текущее приближение корня: ',xm:8:4);
until abs(fun(xp)/fun1(xp))<f;
writeln ('Корень уравнения ',xm:8:4);
end;
10:end.