Лабораторная работа № 3 Тема: Решение нелинейных уравнений методом хорд

Цель работы: Уточнить корни нелинейных уравнений методом хорд с заданной точностью.

1. Теоретические сведения

Метод хорд применяется для нахождения корня нелинейного уравнения f (x) = 0, лежащего на отрезке [a,b] и выполнении условия f (a) f (b) < 0.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой у = f (x) хордой, проходящей через точки A [a, f (a)] и B [b, f (b)] .

Уравнение хорды имеет вид

= (1)

Полагая х = х₁ и у = 0 получаем

х₁ = а - (b – a) (2)

Применяя этот метод к тому из отрезков [a, x₁] или [x₁, b] на концах которого f (x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x₂ и т.д.

Кривая у = f (x) может быть выпукла снизу и расположена ниже своей хорды АВ. При этом возможны два случая.

1. f (x) < 0 и тогда правый конец отрезка b неподвижен, а левый конец постепенно смещается в сторону корня. Таким образом за начальное приближение корня принимается левая граница отрезка, т.е. х₀ = а и последовательные приближения корня исходя из (2) находятся по формуле

x_n+1 = x_n - (b – x_n) (3)

2. f (x) > 0 и тогда левый конец отрезка неподвижен, а правый конец постепенно смещается в сторону корня. Таким образом за начальное приближение корня принимается правая граница отрезка, т.е. х₀ = b и последовательные приближения корня исходя из (2) находятся по формуле

x_n+1 = x_n - (x_n - a) (4)

В общем случае приближения лежат по ту сторону корня, где функция f (x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной, т.е.

. (5)

Для оценки точности нахождения корня можно воспользоваться ранее приведенной формулой

x_n – z | <= , (6)

где х_n – приближенное значение корня,

z – точное значение корня,

m₁ – наименьшее значение первой производной на отрезке [a,b].

Для оценки текущей точности при нахождении корня можно на каждом шаге вычисления определять модуль разности между двумя последними значениями приближения корня

| x_n+1 – x_n |. (7)

Если на каком-то шаге она окажется меньше или раной заданной точности вычисления корня, то процесс останавливается и за значение корня принимается величина x_n+1.

2. Порядок выполнения работы

1. Последовательно используя компьютерную программу из Приложения, уточнить каждый корень с заданной точностью.

2. Выполнить проверку для каждого корня, подставляя их значения в соответствующее уравнение.

3. Все вычисления проводить с количеством разрядов в дробной части десятичного числа минимум на один разряд больше, чем заданная точность.