3. Задание к лабораторной работе

3.1. Выбрать дифференциальное уравнение вида и начальное условие в соответствии с вариантом.

3.2 Найти решение дифференциального уравнения для трех различных шагов интегрирования на отрезке [0, 1].

№ варианта			№ варианта
1		0	2		0
3		0.2	4		0.2
5		0.3	6		0.3
7		1	8		1
9		1.2	10		1.2
11		1.5	12		1.5
13		0.4	14		0.4
15		1	16		1
17		0	18		0
19		0.2	20		0.2
21		0.3	22		0.3
23		1	24		1
25		1.2	26		1.2
27		1.5	28		1.5
29		0.4	30		0.4

3.3. Выполнить анализ точности результата и оценить влияние каждого источника погрешностей.

3.4. Выполнить анализ точности результатов, полученных тремя различными методами.

3.5. Оформить отчет по лабораторной работе.

Приложение

program labrab12;

var

x,y,h,b,K1,K2,K3,K4 :real;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y-2*x/y;

end;

begin

cls;

writeln('Метод Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений');

writeln;

writeln('Введите начало отрезка');

read(x);

writeln('Введите конец отрезка');

read(b);

writeln('Введите начальные значения y(0)');

read(y);

write('Введите шаг интегрирования Н=');

read(h);

writeln;

writeln('Результаты решения');

writeln;

while x<=b+0.0001 do

begin

write(x:4:2); write(y:8:4); writeln('');

K1:=h*f(x,y);

K2:=h*f(x+h/2,y+K1/2);

K3:=h*f(x+h/2,y+K2/2);

K4:=h*f(x+h,y+K4);

y:=Y+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;

x:=x+h;

end;

end.

Лабораторная работа № 13 Тема: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Цель работы: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и определить значение функции в точках, отличных от узлов интерполирования.

1. Теоретические сведения

Пусть функция f(х) задана в (n+1) узле интерполирования

f(х_i) = y_i , (i = 0,1,………n) (1)

В качестве интерполирующего полинома возьмем

Q_n(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ……………+ a_n , (2)

причем значения Q_n(x) в узлах интерполирования должны совпадать со значениями данной функции, т.е.

Q_n(x_i) = f(x_i) = y_i (i = 0,1,………n) (3)

Это дает возможность получить систему типа (6), из которой определяются коэффициенты интерполирующего многочлена.

Однако, для получения многочлена в более удобном виде, удовлетворяющего условиям (7) построим вспомогательный полином

F_i(x) (i = 0,1,………n) (4)

степени n. Особенностью этого многочлена является то, что при х = х₀ многочлен F₀(x) должен принимать значения F₀(x₀) = 1, а в остальных случаях он будет равен нулю, т.е.

F₀(x₁) = F₀(x₂) = ………………….= F₀(x_n) = 0.

Такой многочлен имеет вид

Аналогично можно получить F₁(x) для которого F₁(x₁) = 1, а

F₁(x₀) = F₁(x₂) = ………………….= F₁(x_n) = 0.

.

В общем виде вспомогательный многочлен F_i(x) (i = 0,1,………n) можно записать

(5)

Тогда искомый многочлен, который называется интерполяционным многочленом Лагранжа примет вид

(6)

Произведение (i = 0,1,………n) обращается в нуль во всех узлах интерполирования, кроме узла х_i , где они равны y_i , т.е.

Q_n(x_i) = y_i (i = 0,1,………n).

Если функция f(х) непрерывно дифференцируема до (n+1) порядка включительно, то остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа (погрешность) имеет вид

где z – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования х₀, х₁, …………….,х_n и точку х;

- производная (n+1)порядка.