
- •Структура и содержание отчета
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 2 Тема: Решение нелинейных уравнений методом половинного деления
- •1. Теоретические сведения
- •1.1. Отделение корней нелинейных уравнений
- •1.2. Метод половинного деления.
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 3 Тема: Решение нелинейных уравнений методом хорд
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 4 Тема: Решение нелинейных уравнений методом Ньютона (касательных)
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 5 Тема: Решение систем линейных уравнений методом главных элементов
- •2. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 6 Тема: Решение систем линейных уравнений методом итераций
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 7 Тема: Решение систем линейных уравнений методом Зейделя
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 8 Тема: Решение систем нелинейных уравнений методом итераций
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 9 Тема: Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
- •Теоретические сведения
- •Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 10 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 11 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 12 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта
- •1. Теоретические сведения
- •1.1. Метод Рунге-Кутта
- •1.2. Точность методов приближенного вычисления
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 13 Тема: Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
- •Лабораторная работа № 14 Тема: Интерполяционные многочлены Ньютона
- •1. Теоретические сведения
- •2. Порядок выполнения работы
- •3. Задание к лабораторной работе
3. Задание к лабораторной работе
3.1. Выбрать дифференциальное уравнение вида и начальное условие в соответствии с вариантом.
3.2 Найти решение дифференциального уравнения для трех различных шагов интегрирования на отрезке [0, 1].
№ варианта |
|
|
№ варианта |
|
|
1 |
|
0 |
2 |
|
0 |
3 |
|
0.2 |
4 |
|
0.2 |
5 |
|
0.3 |
6 |
|
0.3 |
7 |
|
1 |
8 |
|
1 |
9 |
|
1.2 |
10 |
|
1.2 |
11 |
|
1.5 |
12 |
|
1.5 |
13 |
|
0.4 |
14 |
|
0.4 |
15 |
|
1 |
16 |
|
1 |
17 |
|
0 |
18 |
|
0 |
19 |
|
0.2 |
20 |
|
0.2 |
21 |
|
0.3 |
22 |
|
0.3 |
23 |
|
1 |
24 |
|
1 |
25 |
|
1.2 |
26 |
|
1.2 |
27 |
|
1.5 |
28 |
|
1.5 |
29 |
|
0.4 |
30 |
|
0.4 |
3.3. Выполнить анализ точности результата и оценить влияние каждого источника погрешностей.
3.4. Выполнить анализ точности результатов, полученных тремя различными методами.
3.5. Оформить отчет по лабораторной работе.
Приложение
program labrab12;
var
x,y,h,b,K1,K2,K3,K4 :real;
function f(x,y:real):real;
begin
f:=y-2*x/y;
end;
begin
cls;
writeln('Метод Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений');
writeln;
writeln('Введите начало отрезка');
read(x);
writeln('Введите конец отрезка');
read(b);
writeln('Введите начальные значения y(0)');
read(y);
write('Введите шаг интегрирования Н=');
read(h);
writeln;
writeln('Результаты решения');
writeln;
while x<=b+0.0001 do
begin
write(x:4:2); write(y:8:4); writeln('');
K1:=h*f(x,y);
K2:=h*f(x+h/2,y+K1/2);
K3:=h*f(x+h/2,y+K2/2);
K4:=h*f(x+h,y+K4);
y:=Y+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
x:=x+h;
end;
end.
Лабораторная работа № 13 Тема: Интерполяционный многочлен Лагранжа
Цель работы: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и определить значение функции в точках, отличных от узлов интерполирования.
1. Теоретические сведения
Пусть функция f(х) задана в (n+1) узле интерполирования
f(хi) = yi , (i = 0,1,………n) (1)
В качестве интерполирующего полинома возьмем
Qn(x) = a0xn + a1xn-1 + ……………+ an , (2)
причем значения Qn(x) в узлах интерполирования должны совпадать со значениями данной функции, т.е.
Qn(xi) = f(xi) = yi (i = 0,1,………n) (3)
Это дает возможность получить систему типа (6), из которой определяются коэффициенты интерполирующего многочлена.
Однако, для получения многочлена в более удобном виде, удовлетворяющего условиям (7) построим вспомогательный полином
Fi(x) (i = 0,1,………n) (4)
степени n. Особенностью этого многочлена является то, что при х = х0 многочлен F0(x) должен принимать значения F0(x0) = 1, а в остальных случаях он будет равен нулю, т.е.
F0(x1) = F0(x2) = ………………….= F0(xn) = 0.
Такой многочлен имеет вид
Аналогично можно получить F1(x) для которого F1(x1) = 1, а
F1(x0) = F1(x2) = ………………….= F1(xn) = 0.
.
В общем виде вспомогательный многочлен Fi(x) (i = 0,1,………n) можно записать
(5)
Тогда искомый многочлен, который называется интерполяционным многочленом Лагранжа примет вид
(6)
Произведение
(i
= 0,1,………n)
обращается в нуль во всех узлах
интерполирования, кроме узла хi
, где они
равны yi
, т.е.
Qn(xi) = yi (i = 0,1,………n).
Если функция f(х) непрерывно дифференцируема до (n+1) порядка включительно, то остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа (погрешность) имеет вид
где z – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования х0, х1, …………….,хn и точку х;
-
производная (n+1)порядка.