Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МУ к лаб.раб..doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.22 Mб
Скачать

3. Задание к лабораторной работе

3.1. Выбрать дифференциальное уравнение вида и начальное условие в соответствии с вариантом.

3.2 Найти решение дифференциального уравнения для трех различных шагов интегрирования на отрезке [0, 1].

№ варианта

№ варианта

1

0

2

0

3

0.2

4

0.2

5

0.3

6

0.3

7

1

8

1

9

1.2

10

1.2

11

1.5

12

1.5

13

0.4

14

0.4

15

1

16

1

17

0

18

0

19

0.2

20

0.2

21

0.3

22

0.3

23

1

24

1

25

1.2

26

1.2

27

1.5

28

1.5

29

0.4

30

0.4

3.3. Выполнить анализ точности результата и оценить влияние каждого источника погрешностей.

3.4. Выполнить анализ точности результатов, полученных тремя различными методами.

3.5. Оформить отчет по лабораторной работе.

Приложение

program labrab12;

var

x,y,h,b,K1,K2,K3,K4 :real;

function f(x,y:real):real;

begin

f:=y-2*x/y;

end;

begin

cls;

writeln('Метод Рунге-Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений');

writeln;

writeln('Введите начало отрезка');

read(x);

writeln('Введите конец отрезка');

read(b);

writeln('Введите начальные значения y(0)');

read(y);

write('Введите шаг интегрирования Н=');

read(h);

writeln;

writeln('Результаты решения');

writeln;

while x<=b+0.0001 do

begin

write(x:4:2); write(y:8:4); writeln('');

K1:=h*f(x,y);

K2:=h*f(x+h/2,y+K1/2);

K3:=h*f(x+h/2,y+K2/2);

K4:=h*f(x+h,y+K4);

y:=Y+(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;

x:=x+h;

end;

end.

Лабораторная работа № 13 Тема: Интерполяционный многочлен Лагранжа

Цель работы: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и определить значение функции в точках, отличных от узлов интерполирования.

1. Теоретические сведения

Пусть функция f(х) задана в (n+1) узле интерполирования

f(хi) = yi , (i = 0,1,………n) (1)

В качестве интерполирующего полинома возьмем

Qn(x) = a0xn + a1xn-1 + ……………+ an , (2)

причем значения Qn(x) в узлах интерполирования должны совпадать со значениями данной функции, т.е.

Qn(xi) = f(xi) = yi (i = 0,1,………n) (3)

Это дает возможность получить систему типа (6), из которой определяются коэффициенты интерполирующего многочлена.

Однако, для получения многочлена в более удобном виде, удовлетворяющего условиям (7) построим вспомогательный полином

Fi(x) (i = 0,1,………n) (4)

степени n. Особенностью этого многочлена является то, что при х = х0 многочлен F0(x) должен принимать значения F0(x0) = 1, а в остальных случаях он будет равен нулю, т.е.

F0(x1) = F0(x2) = ………………….= F0(xn) = 0.

Такой многочлен имеет вид

Аналогично можно получить F1(x) для которого F1(x1) = 1, а

F1(x0) = F1(x2) = ………………….= F1(xn) = 0.

.

В общем виде вспомогательный многочлен Fi(x) (i = 0,1,………n) можно записать

(5)

Тогда искомый многочлен, который называется интерполяционным многочленом Лагранжа примет вид

(6)

Произведение (i = 0,1,………n) обращается в нуль во всех узлах интерполирования, кроме узла хi , где они равны yi , т.е.

Qn(xi) = yi (i = 0,1,………n).

Если функция f(х) непрерывно дифференцируема до (n+1) порядка включительно, то остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа (погрешность) имеет вид

где z – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполирования х0, х1, …………….,хn и точку х;

- производная (n+1)порядка.