Лабораторная работа № 12 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Цель работы: Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта и выполнить анализ погрешности результата.

1. Теоретические сведения

1.1. Метод Рунге-Кутта

Для повышения точности численного интегрирования необходимо сохранить большое количество членов в ряде Тейлора, в который раскладывается функция решения.

Если в ряде оставить пять первых членов, то получим

(1)

Но в этом случае потребуется вычислять каким-то образом производные третьего и четвертого порядка.

Метод Рунге-Кутта дает набор формул, необходимых для их вычисления и объединяет целое семейство методов. Наиболее распространенным из них является метод, при котором сохраняются первые пять членов ряда Тейлора. Это метод четвертого порядка, в котором порядок погрешности будет равен h⁵ .

Расчеты при использовании метода Рунге-Кутта производятся по формуле

, (2)

или ,

где

Вычисления при использовании метода Рунге-Кутта удобно представлять в виде таблицы

i	x	y	K=hf(x,y)
0				2 2
1

1.2. Точность методов приближенного вычисления

Основными источниками погрешностей при численном интегрировании являются.

1. Погрешность округления, обусловленная ограничениями на представление чисел в компьютерах.

2. Погрешность метода, связанная с усечением ряда Тейлора, в который раскладывается решение ДУ.

3. Погрешность распространения, связанная с накоплением погрешностей, появившихся на предыдущих этапах.

В рассмотренных методах численного интегрирования порядок погрешности составляет:

• Метод Эйлера - h²

• Модифицированный метод Эйлера - h³

• Метод Рунге-Кутта - h⁵

Для обеспечения заданной точности одним из важных вопросов является выбор подходящей величины шага интегрирования.

При уменьшении шага до некоторой величины значение погрешности результата уменьшается, однако дальнейшее уменьшение шага интегрирования приводит к ее увеличению. Это объясняется тем, что суммарная погрешность определяется не только погрешностью метода, но и погрешностью округления. Если шаг меньше оптимального, то преобладает погрешность округления и суммарная погрешность увеличивается.

2. Порядок выполнения работы

1. Найти решение дифференциального уравнения для трех шагов интегрирования, равных 0,2; 0,1; 0,05, используя компьютерную программу из приложения.

2. Сравнить результаты всех решений при значениях независимой переменной х равными 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

3. Выполнить анализ влияния различных источников погрешностей на результат.

4. Привести результаты, полученные тремя различными методами в лабораторных работах 8, 9 и 10 и выполнить сравнительный анализ точности.