Лабораторная работа № 11 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Эйлера

Цель работы: Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка модифицированным методом Эйлера и выполнить анализ погрешности результата.

1. Теоретические сведения

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улучшив аппроксимацию производной, значение которой изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Следовательно, сохраняя начальное значение производной в точке х₀ на всем интервале в результаты вычислений вносится погрешность.

Для повышения точности можно использовать среднее значение производной в начале и в конце интервала. В начале интервала оно будет равно f (x₀,y₀), а в конце f (x₁,),

где

y₁^*= y₀+h f (x₀,y₀)

Используя среднее значение производной и формулу Эйлера, получим

у₁ = у₀ +

или

у₁₊₁ = у_i + .

Это равносильно тому, что в ряде Тейлора добавляется еще один член, т.е.

y(x₀+h)=

Таким образом, этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий h². Погрешность на каждом шаге будет иметь порядок h³ . Повышение точности требует дополнительных затрат для вычисления .

2. Порядок выполнения работы

1. Найти решение дифференциального уравнения для трех шагов интегрирования, равных 0,2; 0,1; 0,05, используя компьютерную программу из приложения.

2. Сравнить результаты всех решений при значениях независимой переменной х равными 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

3. Выполнить анализ влияния различных источников погрешностей на результат.

3. Задание к лабораторной работе

3.1. Выбрать дифференциальное уравнение вида и начальное условие в соответствии с вариантом.

3.2 Найти решение дифференциального уравнения для трех различных шагов интегрирования на отрезке [0, 1].

№ варианта			№ варианта
1		0	2		0
3		0.2	4		0.2
5		0.3	6		0.3
7		1	8		1
9		1.2	10		1.2
11		1.5	12		1.5
13		0.4	14		0.4
15		1	16		1
17		0	18		0
19		0.2	20		0.2
21		0.3	22		0.3
23		1	24		1
25		1.2	26		1.2
27		1.5	28		1.5
29		0.4	30		0.4

3.3. Выполнить анализ точности результата и оценить влияние каждого источника погрешностей.

3.4. Оформить отчет по лабораторной работе.

Приложение

program labrab11;

var

x,y,z,h,b :real;

function f(x,y:real):real;

begin

//В эту строку ввести выражение правой части уравнения f(x,y)

f:=y-2*x/y;

end;

begin

cls;

writeln('Модифицированный метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений');

writeln;

writeln('Введите начало отрезка');

read(x);

writeln('Введите конец отрезка');

read(b);

writeln('Введите начальные значения y(0)');

read(y);

write('Введите шаг интегрирования Н=');

read(h);

writeln;

writeln('Результаты решения');

writeln;

while x<=b+0.0001 do

begin

write(x:4:2,' '); write(y:8:4); writeln;

z:=y+h*f(x,y);

x:=x+h;

y:=y+h*(f(x,z)+f(x-h,y))/2;

end;

end.