Лабораторная работа № 10 Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера

Цель работы: Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера и выполнить анализ погрешности результата.

1. Теоретические сведения

Метод Эйлера является простейшим методом для решения дифференциальных уравнений первого порядка

при начальных условиях .

Метод основан на разложении функции решения ДУ в ряд Тейлора в окрестности х₀ при х = х₀ + h

(1)

Если h мало, то члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда получим

(2)

Таким образом, можно получить приближенное значение зависимой переменной у при малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, вычисляя очередное значение функции по формуле

, i = 0,1,2, …………., (3)

где

- последующее значение функции;

- предыдущее значение функции;

- шаг интегрирования;

- значение производной.

2. Порядок выполнения работы

1. Найти решение дифференциального уравнения для трех шагов интегрирования, равных 0,2; 0,1; 0,05, используя компьютерную программу из приложения.

2. Сравнить результаты всех решений при значениях независимой переменной х равными 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

3. Выполнить анализ влияния различных источников погрешностей на результат.

3. Задание к лабораторной работе

3.1. Выбрать дифференциальное уравнение вида и начальное условие в соответствии с вариантом.

3.2 Найти решение дифференциального уравнения для трех различных шагов интегрирования на отрезке [0, 1].

№ варианта			№ варианта
1		0	2		0
3		0.2	4		0.2
5		0.3	6		0.3
7		1	8		1
9		1.2	10		1.2
11		1.5	12		1.5
13		0.4	14		0.4
15		1	16		1
17		0	18		0
19		0.2	20		0.2
21		0.3	22		0.3
23		1	24		1
25		1.2	26		1.2
27		1.5	28		1.5
29		0.4	30		0.4

3.3. Выполнить анализ точности результата и оценить влияние каждого источника погрешностей.

3.4. Оформить отчет по лабораторной работе.

Приложение

program labrab10;

var

x,y,h,b :real;

function f:real;

begin

f:=y-2*x/y;

end;

begin

cls;

writeln('Метод Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений');

writeln;

writeln('Введите начало отрезка');

read(x);

writeln('Введите конец отрезка');

read(b);

writeln('Введите начальные значения y(0)');

read(y);

write('Введите шаг интегрирования Н=');

read(h);

writeln;

writeln('Результаты решения');

writeln;

while x<=b+0.0001 do

begin

write(x:4:2); write(y:8:4); writeln('');

y:=y+h*f;

x:=x+h;

end;

end.