5.6 Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рисунок 5.5,а) сину­соидально:

Рисунок 5.5

Ток в емкости

(5.12)

Выражение (5.12) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол (рисунок 5.5,б).

Сдвиг по фазе .

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связа­ны соотношением, подобным закону Ома

(5.13)

Величина , имеющая размерность сопротив­ления, называется емкостным сопротивлени­ем. Обратная ей величина называется емко­стной проводимостью. Следовательно,

(5.14)

6 Лекция 6. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Цель лекции: ознакомить с применением метода комплексных амплитуд.

6.1 Представление синусоидальных функций в виде векторов и комплексных чисел.

Известно, что каждая точка на комплексной плоско­сти определяется радиус-вектором этой точки (рисунок 6.1).

Рисунок 6.1 Рисунок 6.2

Комплексное число может быть представлено в показательной тригонометрической и алгебраической формах

здесь А - модуль;

- аргумент или фаза;

.

Вектор, вращающийся в положительном направле­нии, т. е. против хода часовой стрелки, с угловой скоро­стью может быть выражен следующим образом

(6.1)

где - комплексная амплитуда, представляющая данный вектор

в момент t = 0 (рисунок 6.2).

Синусоидальная функция может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции (6.1) или как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Условно это записывается так (6.2)

Рисунок 6.3

На рисунке 6.3, а показаны две синусоидальные функции: и имею­щие одинаковую угловую частоту . Функция опережает по фазе функцию , причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз Этот угол образует векторы, показанные на рисунке 6.3,б. При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдви­ге, равном нулю, векторы совпадают по фазе. При фазовом сдвиге 180⁰ векторы находятся в противофазе. Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

6.2 Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока

Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с большой степенью точности. Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме. Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин.

6.3 Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Рассмотрим применение метода комплексных ампли­туд в случае последовательного соеди­нения элементов r, L и С (рисунок 6.4).

Рисунок 6.4

П оложим, что в уравнении Кирхгофа

заданными являются параметры r, L, С и напряжение , а искомой величиной является ток i. Решение этого дифференциального урав­нения должно дать синусоидальную функцию вида .

Комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно

Комплекс­ное уравнение, соответствующее уравнению (6.3)

(6.4)

Комплексное сопротивление рассматриваемой электрической цепи

(6.5)

Таким образом, получается уравнение, выражающее закон Ома для комплексных амплитуд и действующих значений.

и . (6.6)

Комплексное сопротивление в тригонометрической и показательной фор­мах имеет вид

(6.8)

Здесь - модуль комплексного числа , представляет собой полное сопротивление цепи; а — ар­гумент комплексного числа

(6.9)

Н а основании (6.6) комплексная амплитуда тока

где - начальная фаза тока. Следовательно, иско­мый ток в тригонометрической форме

Рисунок 6.5

На рисунке 6.5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.4). Рисунок 6.5,а относится к случаю, когда реактивное сопротивление це­пи имеет индуктивный характер (х>0) и >0. Рисунок 6.5,б относится к случаю, когда реактивное сопротивле­ние цепи имеет емкостный характер (х<0), и <0.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рисунке 6.5, — напряжение на сопротивлении r (сов­падает по фазе с током ), —напряжение на индуктивности L (опережает ток на угол ) и — напряжение на емкости С (отстает от тока I на угол ).

Геометрическая сумма векторов дает век­тор приложенного к цепи напряжения U.

6.4 Параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Е сли к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С (рисунок 6.6), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен .

Рисунок 6.6 Рисунок 6.7

Ток в сопротивлении r совпадает по фазе с напря­жением и, ток в индуктивности L отстает, а ток в емкости С опережает напряжение на (рисунок 6.7).

С ледовательно, суммарный ток i в цепи равен

Величина называется реактивной про­водимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостный (b<0) характер. Вели­чина g = 1/r называется ак­тивной проводимостью.

В соответствии с первым законом Кирхгофа

(6.11)

где - ток в сопротивлении (совпадает по фа­зе с напряжением );

- ток в индуктивности (отстает от напряжения на - );

- ток в емкости (опережает напряжение на ).

Выражение комплексной проводимости

. (6.12)

Уравнение закона Ома в комплексной форме

. (6.13)

Тригонометрическая и показательная фор­мы комплексной проводимости имеют следующий вид

здесь - модуль комплексного числа;

- пред­ставляет собой полную проводимость цепи;

а — аргумент комплексного числа .

. (6.14)

К омплексный ток равен

ч то соответствует синусоидальному току

На рисунке 6.8 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.11). Рисунок 6.8, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b>0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения . Рисунок 6.8, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b<0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение ( ).

Р исунок 6.8