4. Лекция 4. Метод эквивалентного генератора. Баланс мощностей

Цель лекции: научить пользоваться методом эквивалентного источника и составлять баланс мощностей.

4.1 Метод эквивалентного генератора

Применение метода эквивалентного генератора (метода активного двухполюсника или метода холостого хода и короткого замыкания) целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется два варианта метода: 1) метод эквивалентного источника э.д.с. и 2) метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника э.д.с. Для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рисунок 4.1, а; буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рисунок 4.1, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с э.д.с. Е_эк и внутренним сопротивлением R_эк (рисунок 4.1, в).

Э.д.с. Е_эк этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода)

Е_эк = U_abx =(φ_a - φ_b). (4.1)

Расчет схем в режиме холостого хода (рисунок 4.1,б) для определения Е_эк проводится любым известным способом.

Внутреннее сопротивление R_эк эквивалентного источника э.д.с. равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов a и b исходной схемы, из которой исключены все источники (источники э.д.с. заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены, рисунок 4.1, г; буква П указывает на пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Сопротивление R_эк можно вычислить непосредственно по схеме рисунка 4.1, г.

Ток в искомой ветви схемы (рисунок 4.1, д), имеющей сопротивление R, определяется по закону Ома

I = = (4.2)

Метод эквивалентного источника тока. Для расчета тока в ветви ab, сопротивление которой R, надо заменить часть схемы относительно зажимов a и b (при замкнутой ab) эквивалентным источником тока, ток которого J_эк а проводимость G_эк (рисунок 4.1, е).

Рисунок 4.1

Для нахождения тока J_эк надо зажимы a и b закоротить и любым способом рассчитать ток которого замыкания I_k , протекающий по закороченному участку (рисунок 4.1, ж). При этом J_эк = I_k . Сопротивление R_эк можно найти, как и при расчете по методу эквивалентного источника э.д.с. (см. рисунок 4.1,г). Это же сопротивление может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (рисунок 4.1,з) по формуле

R_эк=Е_эк/I_k=Е_эк/J_эк=1/G_эк. (4.3)

Ток в ветви R (рисунок 4.1,и)

I=J_{эк .} (4.4)

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рисунке 4.2 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

Рисунок 4.2 Рисунок 4.3

Для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 4.3, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рисунке 4.4.

Рисунок 4.4 Рисунок 4.5

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рисунке 4.2 в соответствии с (4.2) можно записать

(4.5)

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (4.2) получаем кривую на рисунке 4.5.

4.2 Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи. Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Р_И, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Р_п, расходуемых в приемниках энергии

= , или . (4.6)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (4.6) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (4.6) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

Где Σ Ε_k I_k – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ε_k и соответствующего тока I_k совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно;

Σ Ε_k J_k - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток J_k совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно .

4.3 Расчет цепей с зависимыми источниками

Для расчета цепей, содержащих зависимые источники, применимы все методы, известные для расчета цепей с независимыми источниками.

Наиболее часто используются методы узловых напряжений и контурных токов.

П ример 1. В цепи (рисунок 4.6) действуют независимый источник тока J и ИНУТ с ЭДС Е =rI₂. Дано: R₁, R₂, r, J. Найти напряжение U_ab.

Рисунок 4.6 Рисунок 4.7

Решение. Выберем для решения метод контурных токов. Контурное уравнение: I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=E.Учитывая, что I₂=I₁₁+J, I₁₁ (R₁+R₂)+J R₂=r(I₁₁+J) или I₁₁(R₁+R₂ - r)= J (r - R₂). Из этого уравнения определим ток I₁₁. Напряжение U_ab = I₂ R₂.

Пример 2. В цепи (рис.4.7) действуют независимые источник напряжения с ЭДС E₁ и ИНУН с ЭДС E₂=k U_ab. Найти токи в ветвях, если даны R₁,R₂,R₃, k. Решение. Для решения выберем метод узловых потенциалов. Приняв φ_b = 0, запишем уравнение для узла α

φ_α (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+E₂ / R₂.

Учитывая, что U_ab = φ_a-φ_b, E₂=kφ_а имеем

φ_α (1 / R₁+1 / R₂+1 / R₃) = E₁ / R₁+ kφ_а / R₂.

Решая уравнение, получим φ_a= U_ab. Токи в ветвях I₁= (U_ab+E₁)/ R₁;

I₂=( U_ab- E₂) / R₂, I₃= U_ab / R₃.