13 Лекция 13. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Цель лекции: изучение методов расчета линейных электрических цепей при несинусоидальных периодических токах.

13.1 Несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи

На практике э.д.с., напряжения и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников. В радиотехнике, вычислительной технике и т.п. применяются генераторы периодических несинусоидальных импульсов.

В общем случае характер изменения несинусоидальных величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данной лекции будут рассматриваться цепи только с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями и токами.

В качестве примера (рисунок 13.1,а) представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (рисунок 13.1,б).

Рисунок 13.1 

  13.2 Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Периодическая функция

где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье

.

(13.1)

Здесь  - постоянная составляющая или нулевая гармоника;

- первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой

где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (13.1) . Коэффициенты А₀, а_К и b_K определяются по формулам

, , .

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией:

Рисунок 13.2

а) кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству ( рисунок 13. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. ;

Рисунок 13.3 Рисунок 13.4

б) кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство ( рисунок 13.3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. ;

в) кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (рисунок 13.4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

13.3 Действующее значение периодической несинусоидальной переменной. Действующее значение периодического тока

. (13.2)

Разложим периодический несинусоидальный ток в тригонометрический ряд

и подставим в формулу (13.2), после преобразования получим . (13.3)

Аналогичные выражения имеют место для э.д.с. напряжения

, .

13.4 Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрических рядов

.

Тогда для активной мощности можно записать

После интегрирования, получим:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

.

Для несинусоидального тока .

13.5 Расчёт цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями, токами 

Расчёт линейных электрических цепей несинусоидального тока распадается на три этапа:

а) разложение несинусоидальных э.д.с. и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (т.е. в тригонометрический ряд Фурье);

б) применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности. При расчете цепи с постоянными составляющими э.д.с. и тока источника следует учитывать, что индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а ёмкостное равно и ветвь с ёмкостью размыкается. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей э.д.с. и тока источника можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Необходимо учитывать, что индуктивное и емкостное сопротивления для различных частот неодинаковы, индуктивное сопротивление для k-й гармоники равно: , а емкостное сопротивление для k-й гармоники равно: ;

в) совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих. Причём суммируются только мгновенные значения составляющих токов и напряжений.