Лекции по теории вероятностей / lect1

Лекция 1

Теория вероятностей - математическая дисциплина, изучающая математиче- ские модели случайных экспериментов. Cлучайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать заранее - вот что отличает случайный эксперимент от детерминированного.

В повседневной жизни мы непрерывно сталкиваемся со случайными экспериментами. При этом употребляем слово вероятность для оценки возможности появления некоторого исхода этого эксперимента. Обычно для оценки того, произойдет ли некоторое событие или нет интуитивно используется предыдуший опыт. А именно, мы вспоминаем, как часто появлялось интересующее нас событие в уже проведенной серии таких экспериментов в аналогичных условиях (вероятность попасть под машину, перебегая дорогу на красный свет, вообще говоря мала, сто раз перебегал и вроде ничего)

Не все случайные эксперименты можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть произведены в одних и тех же условиях и обладают, так называемым, свойством статистической устойчивости. Это свойство состоит в следующем. Пусть А событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента, эксперимент повторяется n раз и νn(A) - число экспериментов среди этих n при которых произошло событие А. Тогда доля экспериментов νn(A)/n, в которых произошло событие А (частота появления

события А) с ростом числа экспериментов n приближается к числу p(A). Это

число служит объективной числовой характеристикой возможности произойти событию А.

Историческая справка.

Пример 1. Монета бросается n раз. Нас интересует случайное событие - выпадение герба. Если νn - число выпадений герба при n бросаниях монеты, то νn/n -

частота появления герба при n бросаниях монеты. Если число бросаний монеты n велико, то то частота обычно близка к 1/2.

Поэтому фраза: вероятность появления герба при бросании монеты равна 1/2 не вызывает никаких противоречий. Однако определение вероятности события

как частоты появления этого события при повторении серии экспериментов в одних и тех же условиях не вполне корректно. Можно представить себе ситуацию, когда при бросаниии монеты 10 раз герб выпадет 7 раз. Или же при бросании монеты 10 раз герб выпадет 3 раза.

Кроме частотного объяснения, почему вероятность выпадения герба при бросании монеты разумно считать равным 1/2, существует еще одно.

В эксперименте, состоящем в бросании монеты возможны лишь два исхода : выпадение герба и выпадение решки. Оба исхода равновозможны. Шансы появления того, или другого исхода одинаковы 1:1. Всего исходов (шансов -2), поэтому вероятность появления герба и равна 1/2.

Такой подход лежит в основе вероятностной модели случайного эксперимента, к описанию которого мы и переходим.

Пространство элементарных исходов.

Любой мыслимый исход эксперимента называется элементарным исходом ω.

Совокупность всех элементарных исходов называется пространством элементарных исходов и обозначается Ω = {ω}.

1

Пример. Монета бросается один раз. Всего два элементарных исхода Пример. Монета бросается 2 раза Пример. Монета бросается до первого выпадения герба.

Пример. Производится выстрел по мишени.

Дискретное пространство элементарных исходов. Случайные события и действия над ними.

Мы сначала будем изучать случай, когда пространство элементарных исходов конечно или счетно (пространство элементарных исходов дискретно).

Определение. Если пространство элементарных исходов дискретно, то любое подмножество элементарных исходов называется случайным событием.

Любой элементарный исход называется элементарным событием. Случайные события будем обозначать большими латинскими буквами A, B,

C и т. д. Пустое множество называется невозможным событием и обозначается Ш. Все пространство элементарных исходов Ω называется достоверным событием.

Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A, если в результате эксперимента произошел элементарный исход, содержащийся в A.

Пример. Бросается игральная кость. Пространство элементарных исходов

Ω= {ω1, ω2, ..., ω6}.

Âэтих обозначениях элементарное событие ωi означает, что при бросании кости на верхней грани выпадет i очков. Событие A = {ω2, ω4, ω6} означает, что при бросании кости выпало четное число очков.

Операции над случайными событиями.

1. Сумма событий

[

A + B = A B

Cумма двух событий состоит из исходов, содержащихся или в А или в В. Говорят, что в результате эксперимента произошла сумма событий А и В, если произошло хотя бы одно из этих событий.

2. Произведение событий

\

AB = A B

состоит из исходов, содержащихся и А и в В.

События А и В называются несовместными, если их пересечение пусто

AB = Ø.

Если в результате эксперимента произошли одновременно и А и В, то говорят, что произошло произведение событий А и В.

3. Разность двух событий

2

E = A \ B

состоит из исходов, содержащихся в А, но не содержащихся в В. 4. Противоположное событие

A = Ω\A

Состоит из исходов не содержащихся в А.

Cвойства операций над событиями

Опишем несколько свойств операций над множествами событий.

1.AA = A = A + A = A

2.AA = Ø, A + A = Ω

Q∞

3. A1 + ... + An + ... = j=1 Aj. 4. (A + B)C = A + BC

Говорят, что событие А следует из события (B A), если все элементарные

исходы, содержащиеся в В, содержатся в А.

Полная система событий - это такой набор попарно несовместных событий A1, A2, ..., An, ...(AiAj = , i 6= j) , сумма которых совпадает со всем простран-

ством элементарных исходов.

P

A1 + ... + An + ... = i Ai = Ω.

Нетрудно понять, что любое разбиение пространства элементарных исходов на непересекающиеся множества дает полную систему событий.

Мы будем в дальнейшем обозначать через A - множество всех случайных событий. После того, как было введено пространство элементарных исходов Ω и

множество случайных событий A, перейдем к определению вероятностей случайных событий.

Распределение вероятностей на пространстве элементарных исходов

На пространстве элементарных исходов зададим числовую функцию p(ω), обладающую следующими свойствами:

P

1. p(ω) ≥ 0 для любого ω Ω. 2. ω Ω p(ω) = 1.

Эта числовая функция является числовой характеристикой появления исхода ω при реализации случайного эксперимента с пространством возможных исходов

Ω.

Определение. Числовая функция на Ω со свойствами 1,2 называется распределением вероятностей на Ω.

Пример. Предположим, что монета бросается 2 раза. Пространство элементарных исходов состоит из 4 элементарных исходов. Все исходы равновозможны. Положим p(ωi) = 1/4, i = 1, 2, 3, 4.

Пример. Можно в результате эксперимента фиксировать лишь число выпадений герба. Тогда исходов будет 3 ( ω0 =герб не выпал ни разу, ω1-îäèí ðàç, ω2 =два раза). Но шансов выпадения герба ровно 1 раз в два раза больше, чем

выпадение 2-х гербов или ни одного. Поэтому при построении вероятностной модели естественно задать распределение вероятностей

p(ω0) = 1/4, p(ω1) = 1/2, p(ω2) = 1/4.

3

Определение вероятности события.

Для любого события A A определим вероятность

X

p(A) = p(ω).

ω A

Пример. Бросается игральная кость. Пространство элементарных исходов

Ω = {ω1, ω2, ..., ω6}

.

а) Если кость правильная, то разумно считать, что все исходы равновозможны и p(ω) = 1/6. Подсчитаем при этом распределении вероятностей вероятность

того, что при бросании кости выпадет четное число очков. Обозначим событие, состоящее в том, что при бросании кости выпадет четное число очков через А. Тогда A = {ω2, ω4, ω6} è p(A) = 3/6 = 1/2.

б) Если кость неправильная и при бросании этой кости всегда выпадает 6, то p(ω6) = 1, p(ωi) = 0, i = 1, ..., 5 и тогда p(A) = 1.

Замечание. Теория вероятностей эта наука, которая по вероятностям простых событий позволяет вычислять вероятности более сложных событий. Определение распределения вероятностей p(ω) не входит в задачи теории вероятностей.

Правильно мы определили или нет это распределение, строя модель случайного эксперимента, можно определить лишь проводя этот эксперимент и следя за частотой появления событий в этом эксперименте (близка ли подсчитанная по вероятностному распределению вероятность события к частоте появления этого события).

Свойства вероятности

1.0 ≤ p(A) ≤ 1,

для любого A A.

2.p(Ω) = 1.

3.Если A B, тогда p(A) ≤ p(B).

4.p(A) = 1 − p(A).

5.p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB).

Свойства 1-4 - очевидны. Свойство 5 следует из определения вероятности случайного события. А именно,

AB

5'. Åñëè AB = Ø, òî p(A + B) = p(A) + p(B)

6. Для любых событий A1, A2, ..., An ляется по следующей формуле

4

X

+p(Ai1 Ai2 Ai3 ) + ... + (−1)n−1p(A1A2...An)

1≤i1<i2<i3≤n

Эту формулу легко доказать по индукции. Проверив ее сначала для суммы трех событий, а затем воспользовавшись предположением индукции доказать и для суммы общего числа n событий.

6'. Åñëè A1, A2, ..., An попарно непересекающиеся события, то есть, если AiAj = Ø ïðè i 6= j, òî

p(A1 + A2 + ... + An) = p(A1) + p(A2) + ... + p(An).

Классическое определение вероятности

Если пространство элементарных исходов конечно

|Ω| = N < ∞

и если все исходы равновозможны, то

p(ω) = 1/N.

Это распределение вероятностей на пространстве элементарных исходов называется равномерным распределением. Тогда из определения вероятности для любого случайного события А следует, что

p(A) = |A|/|Ω|.

Элементы комбинаторики

Приведем некоторые элементы из комбинаторики.

I. Пусть имеется множество объектов, каждый из которых описывается парой (ai, bj). Причем ai принимает m1 значений, а bj принимает m2

число таких объектов равно m1m2.

Пример. В столовой на выбор предлагается три первых блюда и пять вторых. Число различных обедов, воторые можно при этом составить - 15.

Если имеется множество объектов, каждый из которых записывается в цепоч- кой длины к ai1 , ..., aik , причем ai1 имеет m1 возможных значений, ai2 имеет m2 возможных значений и так далее aik имеет mk возможных значений, что общее число таких объектов равно произведению m1m2...mk.

II. Размещение. Предположим, что имеется n объектов и к мест. Сколькими способами можно заполнить эти к мест объектами из n данных. Каждое такое заполнение можно записать в виде цепочки

ω = (i1, i2, ..., ik),

ãäå ij - номер элемента из n возможных, оказавшегося на j-ом месте. Эти цепочки

отличаются или составом номеров объектов, выбранных для заполнения к мест, или порядком их расположения. На первом месте может оказаться любой из n объектов (первое место можно заполнить n способами), на втором месте может оказаться любой из n-1 оставшихся объектов и т.д. Поэтому общее число способов, которыми можно заполнить к мест элементами из множества n объектов равно n(n-1)...(n-k+1). Это число называется числом размещений из n элементов по к и записывается в виде (n)k.

5

Пример. Три студента пришли сдавать экзамен. Всего 25 билетов. Обозначим через ω = (i1, i2, i3) номера вытащенных билетов ( i1 - номер билета, доставшегося первому студенту, i2 - номер билета доставшегося второму студенту, i3 - номер

билета, доставшегося 3-ему студенту. Число таких различных троек равно числу размещений из 25 элементов по 3.

III. Перестановки. Если мы хотим подсчитать сколькими способами можно разместить n объектов на n местах, то каждое такое размещение называется перестановкой n элементов и число таких перестановок равно n!.

Пример. Сколькими способами можно рассадить n человек на n стульях. IV. Сочетания. Пусть имеется n элементов. Среди этих n элементов выби-

рается к элементов. Сколькими способами это можно сделать. Каждый такой выбор можно записать в виде цепочки из к элементов (i1, i2, ..., ik). Причем каж-

дый выбор характеризуется лишь набором этих элементов и не важно, в каком порядке эти элементы выбирались. Поэтому можно записать, что множество различных выборов из n элементов к элементов совпадает с множеством цепочек (i1, i2, ..., ik) при этом все элементы для определенности запишем в порядке воз-

растания (i1 < i2 < ... < ik). Число таких цепочек меньше, чем число размещений

из n элементов по к местам в к! раз. Все размещения, отличающиеся лишь порядком расположения в них элементов объединяются в одну цепочку. Поэтому общее число способов выбора из n элементов к элементов равно

Cnk = (n)k/k! = n!/k!(n − k)!.

Пример. Из колоды, содержащей 52 карты вынимается 6 карт. Сколькими способами это можно сделать?

V. Сочетания с повторением. Предположим, что нужно выбрать из n типов элементов к элементов. Каждый такой выбор может содержать несколько элементов одного типа. В каком порядке поступают элементы - безразлично. Тогда каждый такой выбор можно записать цепочкой (k1, k2, ...kn). В этой цепочке k1

-число элементов первого типа среди выбранных, k2 - число элементов второго òèïà è ò.ä. kn - число элементов n-го типа. При этом k1 + k2 + ... + kn = k. ×èñ-

ло различных таких выборов называется числом сочетаний с повторениями из n элементов по к.

Теорема.Число сочетаний с повторениями из n элементов по к равно Cnk+k−1 =

Cnn−−k1+1.

Доказательство этой формулы будет приведено позже.

Пример. Пять различных компаний выбирают лучшего студента для премии из 10 отличников. Если в результате записывать только фамилии выбранных студентов, то число различных способов выбора равно числу сочетаний с повторениями.

Урны и шарики

Есть урна (или ящик), содержащая n различных объектов (занумерованных шариков). Мы выбираем из этой урны к шариков. Спрашивается сколькими способами можно выбрать из n шариков к? Или сколько различных выборов можно получить, выбирая из n шариков к?

Чтобы ответить на этот вопрос надо уточнить:

а) как организован выбор (в частности, возвращаются ли при последовательном выборе шары обратно в урну или нет);

6

в) какие результаты выбора считать различными (учитыватьли порядок, в котором выбираются объекты или нет).

Рассмотрим следующие возможные схемы выбора.

1.Выбор с возвращением (с повторением). Каждый выбранный шарик возвращается в урну. Шары последовательно выбираются из полной урны. В полу- ченном наборе к шаров могут встречаться одинаковые номера шаров.

2.Выбор без возвращения. Выбранные шарики в урну не возвращаются. В полученном наборе к номеров шаров нет одинаковых номеров.

И в том и в другом выборе результатом являются номера выбранных шаров. Удобно считать, что все шары выбираются последовательно по одному ( с возвращением или без). Теперь условимся какие результаты считать различными. Есть ровно две возможности.

1.Выбор с учетом порядка. В этом случае два набора шаров считаются различными если они отличаются или составом номеров или их порядком выбора. Так при выборе двух шаров из урны, содержащей, например, 3 шара, наборы шаров (1,2) и (2,1) считаются различными.

2.Выбор без учета порядка. Два набора из к номеров читаются различными если они отличаются лишь составом шаров. В этом случае наборы (1,2) и (2,1) неразличимы.

Итак имеется 4 различные схемы выбора.

1. Выбор без возвращения и с учетом порядка. Любой исход записывается в виде такой же цепочки

ω = (i1, i2, ..., ik)

Ïðè ýòîì i1 6= i2 6= ... 6= ik Все цепочки не содержат одинаковых номеров. Различные цепочки различаются или составом шаров или порядком, в котором они вынимались. Теперь i1 может принимать любые из n значений, i2 - любые из n − 1 оставшихся, i3 - любые из n − 2 и т.д. Поэтому общее число таких цепочек равно числу размещений из n по к - (n)k.

2. Выбор без возвращения и без учета порядка. Все исходы описываются цепочкой длины к. Все цепочки различаются лишь составом элементов и все элементы различны. Поэтому все различные исходы такого эксперимента можно описать

ω = (i1, i2, ..., ik),

i1 < i2 < ... < ik записав по порядку номера вытащенных шаров. Число таких цепочек равно числу сочетаний из n по к.

3. Выбор с возвращением и с учетом порядка. Любой исход эксперимента записывается в виде

ω = (i1, i2, ..., ik)

ij- номер шара, вынутого j-ым. Каждый ij может принимать значения от 1 до n. Общее количество таких цепочек nk.

7

4. Выбор с возвращением и без учета порядка. Каждый такой выбор можно записать цепочкой (k1, k2, ...kn) длины n. В этой цепочке k1 -число раз, когда был выбран шар с номером 1, k2 - число раз когда был выбран шар с номером 2 и ò.ä. kn - число раз когда был выбран шар с номером n. При этом общее число выбранных шаров равно k: k1 + k2 + ... + kn = k.

Чтобы подсчитать число таких цепочек представим себе еще один эксперимент исходы которого описываются тем же самым множеством цепочек длины k. Пусть у нас есть n ящиков, в которых размещаются k шариков (шарики неразли- чимы). Разные размещения различаются количеством шариков в каждом ящике. Результат размещения можно записать в виде цепочки длины n

ω = (k1, k2, ..., kn),

ïðè ýòîì ki - число шаров, попавших в i-ый ящик ( i = 1, ..., n.) В этой цепочке k1 -число шаров, попавших в первый ящик, k2 - число шаров, попавших во второй ÿùèê è ò.ä. kn - число шаров, попавших в n-ый ящик. При этом k1+k2+...+kn = k.

Каждый исход этого же эксперимента можно записать в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а кружки, находящиеся в ящиках шарики.Например, все способы размещения 2 шариков по 3 ящикам: **||, |**|, ||**, *|*|, *||*, |*|* ((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1)), (0,1,1).

Видно, что все такие исходы можно получить, расставляя на n+k-1 местах n-1 перегородку. Значит число таких исходов равно числу способов, которыми

Рекомендованная литература по курсу "Теория вероятностей"для групп МЭ41, МЭ-42, ЭМ-41

1.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.Агар, 2000 (28)

2.Айвазян С.А., Мхитарян В.И. т.1.Теория вероятностей и прикладная статистика. М. Юнити-ДАНА, 2001. (23)

3.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М. ЮНИТИ, 2004. (50)

4.Боровков А.А. Курс теории вероятностей, М.Наука, 1976 (20)

5.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.Наука, 1988 (109)

6.Ширяев А.Н. Вероятность. М.Наука (104)

7.Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. М.Наука 1989.(180)

8.Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.Академия, 2003.(50)

9.Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. М.Агар, 2003 (189)

8