Лекции по теории вероятностей / lect11

Лекция 11

Сходимость последовательности случайных величин. Сходимость по вероятности.

Пусть на одном вероятностном пространстве задана последовательность слу- чайных величин X1, X2, ... и случайная величина X.

Определение. Последовательность случайных величин Xn, n = 1, 2, .. ñõî-

p

дится по вероятности к случайной величине X пишут Xn −→ X, если для любого

ε > 0

p(|Xn − X| > ε) → 0 ïðè n → ∞

èëè

p(|Xn − X| ≤ ε) → 1 ïðè n → ∞.

Пример. Рассмотрим последовательность случайных величин Xn таких, что

Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к нулю. Действительно, зафиксируем произвольное ε > 0. Тогда для достаточно больших

n

p(|Xn − 0| > ε) = p(Xn > ε) = p(Xn = n7) = n1 .

Поэтому,

lim p(|Xn| > ε) = 0.

n→∞

Замечание. Сходимость случайных величин по вероятности не обязательно влечет за собой сходимость их числовых характеристик, например, математиче-

описаны в предыдущем примере, то математические ожидания случайных вели- чин сходятся к нулю, но дисперсии DXn = 1 и не стремятся к нулю.

Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимости свойствами.

Свойства сходимости по вероятности.

òî g(Xn, Yn) → g(X, Y ) (лемма Слуцкого).

Частные случаи этой леммы.

p

Xn + Yn → X + Y ;

p

XnYn → XY.

1

c/d.

Доказательство проведем для частного случая леммы Слуцкого. А

именно, покажем, что предел суммы сходящихся по вероятности последовательностей равен сумме пределов.

Рассмотрим произвольное ε > 0. Требуется доказать, что p(|Xn + Yn − X − Y )| > ε) → 0 ïðè n → ∞.

Íî

|Xn + Yn − X − Y )| ≤ |Xn − X| + |Yn − Y )|.

Поэтому, справедливы следующие соотношения между случайными событиями:

{ω : |Xn + Yn − (X + Y )| > ε} {ω : |Xn − X| + |Yn − Y | > ε}

{ω : |Xn − X| > ε/2} + {ω : |Yn − Y | > ε/2}.

Последнее соотношение следует из того, что если |Xn − X| + |Yn − Y | > ε, òî èëè

|Xn − X| > ε/2, èëè |Yn − Y | > ε/2.

Получаем следующую цепочку неравенств

p(|Xn + Yn − X − Y | > ε) ≤ p(|Xn − X| + |Yn − Y | > ε) ≤

≤ p(|Xn − X| > ε/2) + p(|Yn − Y | > ε/2).

Отсюда следует, что при n → ∞

p(|Xn + Yn − X − Y | > ε) → 0,

p p

òàê êàê Xn → X, Yn → Y.

Законы больших чисел.

Пусть, как и раньше, на одном вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин X1, X2, ...

Законами больших чисел (ЗБЧ) принято называть утверждения об условиях, при которых

åñëè n → ∞.

ЗБЧ в форме Чебышева.

Последовательность попарно независимых случайных величин Xi с диспер- сией, ограниченной одной и той же константой DXi < C, удовлетворяет закону

2

ïðè n → ∞.

Доказательство. Пусть Sn = X1 +...+Xn, à Sn/n - арифметическое среднее случайных величини X1, ..., Xn. Очевидно, что

Пусть ε > 0. Тогда по неравенству Чебышева для случайной величины Sn/n, получаем, что

Отсюда

ïðè n → ∞.

Если случайные величины Xj , j = 1, 2, .. - независимы и одинаково распре-

делены, то математические ожидания и дисперсии у них равны. Пусть EXi = a, DXi = σ2 < ∞. Закон больших чисел в форме Чебышева для этого случая

выглядит так

n

1 X p

n

Xj − a → 0.

j=1

При этом с помощью неравенства Чебышева не только доказывается сходимость по вероятности, но и получается оценка для вероятности того, что среднее арифметическое любого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин отличается от математического ожидания этих случайных величин более, чем на заданное число:

Задача. Вася и Петя бросают монету. Если выпадает орел, то Вася получает

3

Решение. Последовательность случайных величин Xi, i = 1, 2, ... - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом p(Xi = 10) = 1/2 è p(Xi = −10) = 1/2, EXi = 0, DXi = 100 < ∞. Поэтому для этой последовательности случайных величин выполнен закон больших чисел и для любого ε > 0

Бернулли.

Пусть A (успех)- событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью p(A) = p. Пусть νn(A) - число успехов в n испытаниях. Тогда

Доказательство. Заметим, что νn - это сумма независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром p.

EXi = p, DXi = p(1 − p).

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебышева. Еще одна формулировка закона больших чисел.

Теорема.

Последовательность случайных величин X1, X2, ... с конечными вторыми мо-

4

По условию теоремы DSn/n2 стремится к нулю при n → ∞.

Задача. X1, ..., Xk, .. последовательность независимых случайных величин и

p(Xk = 2k) = p(Xk = −2k) = 2−(2k+1), p(Xk = 0) = 1 − 2−2k.

Показать, что для этой последовательности выполнен закон больших чисел.

Задача. X1, ..., Xk, .. последовательность одинаково распределенных случайных величин и

Показать, что для последовательности случайных величин выполнен закон больших чисел.

ЗБЧ в форме Хинчина.

Александр Яковлевич Хинчин (10.7.1894-18.11.1959)

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным первым моментом EXi = a имеет место сходимость

n

1 X p

n

Xj → a.

j=1

Эта теорема будет доказана позже с помошью характеристических функций.

Сходимость по вероятности - это не единственный вид сходимости последовательности случайных величин.

Определение. Последовательность случайных величин Xn,ï.â.n = 1, 2, ... называется сходящейся почти всюду к случайной величине X (Xn −→ X), åñëè

p({ω : lim Xn = X}) = 1,

то есть множество исходов ω, для которых последовательность Xn(ω) → X(ω) имеет вероятность единица.

Определение. Последовательность случайных величин Xn, n = 1, 2, ... называется сходящейся в среднем порядка q (q > 0) к случайной величине X, если

E|Xn − X|q → 0, n → ∞.

В частном случае q = 2 эту сходимость называют сходимостью в среднем квадра-

тичном и пишут X = l.i.m. Xn (l.i.m. - сокращение от limit in mean - сходимость в среднем).

Приведем без доказательства следующую теорему, состоящую из двух пунк-

òîâ.

Теорема.

1.Из сходимости последовательности Xn почти всюду к случайной величине X следует и сходимость по вероятности этой последовательности к X.

2.Из сходимости последовательности Xn в среднем порядка q к случайной величине X следует и сходимость по вероятности этой последовательности к X.

5