Кинематика

Тема 1.7-1.8 Основные понятия кинематики. Кинематика точки

Кинематика- часть теоретической механики, изучающая общие законы движе­ния материальных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти движения.

Кинематика отвечает на вопрос: как движется тело.

Механическое движение — это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

1. Характеристики движения

Любое механическое движение характеризует следующие парамет­ры:

• траектория движения;

• путь;

• перемещение;

• скорость;

• ускорение

Траектория движения — это линия, вдоль которой движется тело. В зависимости от траектории движение может быть прямолинейным и криволиней­ным.

Путь s — это расстояние, пройденное телом вдоль линии траектории (рис. 1.40).

Рис. 1.40

Перемещение S - это направленный отрезок прямой, соединяющий на­чальное и конечное положение тела (см. рис. 1.40).

Скорость v — кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения её положения в пространстве:

; м/с

Средняя скорость точки v_ср определяется за некоторый промежуток времени Δt

Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т.е. расстояния от начала отсчёта перемещения) по времени.

,м/с,

Скорость векторная величина, которая направлена по касательной к траектории в сторону движения.

Ускорение точки а- кинематическая мера изменения вектора скорости точки по величине и направлению в единицу времени.

Среднее ускорение точки а_ср определяется за некоторый промежуток времени Δt при изменении скорости на Δv

Истинное (мгновенное) ускорение при любом движении точки равно первой производной скорости или второй производной координаты (т.е. расстояния от начала отсчёта перемещения) по времени.

; [а]=[S]/[t]²=м/с²

При прямолинейном движении вектор ускорения совпадает с траекторией, при криволинейном движении он направлен в сторону вогнутости траектории.

В криволинейном движении ускорение зависит от кривизны траектории. Чтобы определить величину и направление истинного полного ускорения точки а его необходимо разложить на две перпендикулярные составляющие: а_τ касательное (тангенциальное) и а_п нормальное (центростремительное) ускорения.

Касательное ускорение а_τ — это величина, которая характеризует быст­роту изменения величины скорости за единицу времени:

,м/с², .

Касательное ускорение всегда направлено по линии вектора скорости (рис. 1.41).

Нормальное ускорение а_п — это величина, которая характеризует изме­нение направления вектора скорости:

где r— радиус кривизны траектории.

Нормальное ускорение всегда направлено по радиусу к центру кривизны траектории.

2. Способы задания движения точки.

Чтобы задать движение точки, необходимо, указать её положение в пространстве по отношению к выбранной системе отсчёта в любой момент времени.

Рассмотрим 2 способа задания движения точки: естественный и координатный.

Естественный способ заключается в том, что движение точки задаётся её траекторией, началом отсчёта и уравнением движения (законом движения) по этой траектории.

Уравнение движения – это уравнение, определяющее положение движущейся точки в зависимости от времени.

О – начало отсчёта

S –дуговая координата – это расстояние на траектории между точкой и началом отсчета, отсчитываемое в соответствии с правилом знаков;

S=f(t )- уравнение или закон движения точки:

где: S- дуговая координата, является функцией времени;

t- время движения точки в начальный момент времени.

Дуговую координату не следует путать с длиной пройденного пути. Путь с течением времени увеличивается, а координата устанавливает положение движущейся точки относительно начала отсчета.

Зная траекторию точки и уравнение движения по этой траектории, можно определить положение точки в любой момент времени, подставив время в уравнение движения.

Координатный способ заключается в том, что движение точки задаётся движением её координат x и y, которые изменяются с течением времени, значит являются некоторыми функциями времени.

x=f₁(t),

- Уравнения плоского движения точки в координатной

y=f₂(t) форме

Зная уравнения движения точки в координатной форме, можно, подставив в эти уравнения время, определить положение проекции точки, а значит положение самой точки в любой момент времени.

Чтобы определить уравнение траектории движения точки, необходимо решить эти уравнения, исключив из них параметр время.

y=f(x) - Уравнение траектории

Пример 1 При движении точки её координаты изменяются с течением времени и определяются уравнениями:

1) x = f₁(t) = 8 t +20 мм

2) y = f₂(t) = 5 t мм

Найти уравнение траектории движения точки.

Решение

Из уравнения (2) находим

t = y /5= 0,2 y

Подставляем t в (1) уравнение и получим уравнение траектории

x =8 t + 20 = 8• 0,2 y +20 = 1,6 y +20 мм

x =1,6 y +20 мм - уравнение траектории

Ответ: Уравнение показывает, что траектория движения точки представляет - прямая линию.