14.4 Взаимосвязь между оптимальными траекториями и траекториями равновесия динамической модели в матричной форме.

На основе производственной (ПС) ДММФ (14.1.2) – (14.1.4) (см. параграф 14.1) строится ММсППРИ (14.2.2) – (14.2.6) (см. параграф 14.2), благодаря которой строятся ТрМсППРИ которые являются траекториями интенсивностей равновесия. На основе ПС ДММФ строятся терминально оптимальные траектории интенсивностей

О птимальная траектория интенсивностей ПС ДММФ зависит от начального вектора целевого вектора и от матриц и Основные характеристики и ТрМсППРИ и, следовательно, сама ТрМсППРИ зависят только от матриц и т.е. от технологического множества ДММФ.

Говорят, что оптимальная траектория интенсивностей обладает магистральным свойством, если она в своём развитии сначала приближается (не обязательно монотонно) к лучу натянутому на вектор затем в течение ряда периодов элементы оптимальной траектории располагаются около луча мало отличаясь от соответствующих элементов ТрМсППРИ, и в конце временного промежутка ДММФ оптимальная траектория интенсивностей может отойти от луча для того, чтобы попасть в терминальную точку (см. Рис. 14.9), на котором точками (кляксами) показаны элементы терминально оптимальной траектории, а крестиками – элементы ТрМсППРИ, которые все расположены на луче Роль самой магистрали играет луч

Термин магистраль означает скоростную автомобильную дорогу, по которой автомобилист передвигается в возможно-максимальной скоростью. К магистрали автомобилист едет по местной дороге, от магистрали также по другой местной дороге, чтобы попасть в требуемый пункт. Термин магистральное свойство оптимальной траектории был введён (П. Самуэльсоном) в связи с тем, что характер её поведения похож на стратегию передвижения автомобилиста, который должен проехать из одного города в другой, используя магистраль, если расстояние между городами относительно велико. (Если расстояние невелико, следует ехать по местной дороге, не выезжая на магистраль).

Отметим, что теоремы, которые дают достаточные условия существования магистрального эффекта, называются теоремами о магистрали. Существует много теорем о магистрали, доказанных разными авторами. Совокупность теорем о магистрали составляют магистральную теорию. Магистральная теория включает также теоремы о магистрали для оптимальных траекторий цен, которые играют не только вспомогательную роль, но и представляют самостоятельный интерес.

Приведём достаточное условие существования магистрального свойства у терминально оптимальной траектории ДММФ с квадратными матрицами и

Пусть набор ДР ДММФ, пусть векторы и и являются единственными. Пусть число простой корень характеристического уравнения и на окружности радиуса нет других корней этого уравнения.

Пусть матрица (матрица

Пусть вектор и его носитель включает носитель вектора

Пусть и существует постоянная такая, что Тогда для любого сколь угодно малого числа найдутся номера ( и такие, что для любой терминально оптимальной траектории ДММФ при всех номерах удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство

Номера и от не зависят. Номер может быть любым. Из неравенств и следует (см. параграф 14.3), что коэффициент роста ДР т.е. траектория интенсивностей равновесия является ТрМсППРИ ДММФ

Векторы и называются магистральными векторами интенсивностей и цен, коэффициент роста называется магистральным коэффициентом роста.

Символом обозначено угловое расстояние между векторами и

где октаэдрическая норма вектора

октаэдрическая норма вектора

Неравенство означает, что элементы все оптимальной траектории расположены внутри конуса, натянутого на октаэдрическую окрестность вектора

Номер может зависеть от номер от целевого вектора С ростом номера удлиняется второй (основной) участок оптимальной траектории интенсивностей, а длины первого и третьего участков с ростом номера не меняются.

Неравенство описывает поведение второго участка оптимальной траектории интенсивностей и означает, что этот второй участок близок в соответствующему участку ТрМсППРИ. Таким образом второй участок оптимальной траектории аналогичен передвижению автомобилиста по магистрали с максимально возможной скоростью.

Поведение первого участка оптимальной траектории интенсивностей зависит от начального вектора поведение последнего участка оптимальной траектории интенсивностей зависит от целевого вектора Характер поведения второго (основного) участка оптимальной траектории по сути регламентируется только технологическим множеством ПС ДММФ и не зависит ни от начального вектора ни от целевого вектора

Отсюда можно сделать по крайней мере три важных теоретических вывода.

Во-первых, в ДММФ с продолжительным временным горизонтом не требуется большая точность для определения терминального целевого вектора ибо он влияет по существу только на третий участок (т.е. на «хвост») оптимальной траектории, который можно отсрочить, уменьшив временной горизонт ДММФ.

Во-вторых, решение задачи динамической оптимизации, т.е. нахождение оптимальной траектории интенсивностей в случае продолжительного временного горизонта осуществляется лишь по существу через максимальный постоянный пропорциональный рост, основные характеристики и которого эндогенны и определяются лишь технологическим множеством ДММФ. Итак, достижение оптимальности возможно только через максимальный постоянный пропорциональный рост с эндогенным основными характеристиками.

В-третьих, магистральное свойство можно использовать для рационального решения так называемой проблемы «хвоста» в экономической динамике, суть которой заключается в том, что всякая динамическая модель с конечным временным горизонтом имеет свой модельный «конец света». Поэтому в последние годы временного промежутка оптимальная траектория переходит в режим «после нас хоть потоп». В связи с этим на элементы оптимальной траектории в последние годы временного промежутка следует накладывать дополнительные ограничения, элиминирующие неадекватное реальности поведение этой оптимальной траектории. Формирование этих дополнительных условий особенно в задачах прогнозирования представляет собой нетривиальную задачу. На основании магистрального свойства можно рекомендовать в качестве терминального вектора интенсивностей магистральный вектор интенсивностей

С прикладной точки зрения магистральное свойство полезно тем, что на его основе можно строить траектории структурно аппроксимирующие оптимальные, которые искать проще оптимальных. Делается это так. Сначала решается ММсППРИ и определяются магистральные коэффициент и структура интенсивностей а затем определяется только первый участок выхода на магистраль. Второй и третий участки – это участки развития по магистрали с наибольшим коэффициентом роста. Первый участок (участок выхода на магистраль) естественно рассматривать как участок перехода из начального состояния ДММФ в сбалансированное состояние, определяемое вектором

Обобщение теорем о магистрали на случай асимптотически постоянных матриц основано на том, что в ММсППРИ (14.2.2) – (14.2.6), с помощью которой определяются магистральный коэффициент и вектор интенсивностей, в качестве матриц и берутся предельные матрицы асимптотически постоянных матриц и В случае переменных во времени матриц и «прямая» магистраль превращается в «косую», на которой коэффициент и магистральная структура вектора интенсивностей уже перестают быть постоянными как в классических теоремах о магистрали.

Вопросы к главе четырнадцатой для самоконтроля

1. Назовите четыре базовых понятия динамической модели в матричной форме (ДММФ).

2. В какой форме в ДММФ реализован основополагающий принцип «затраты – выпуск»?

3. Что собой представляет основной производственный процесс? Приведите примеры его содержательной интерпретации.

4. Дайте содержательное обоснование покоординатному сложению и умножению на неотрицательное число основных производственных процессов.

5. Как в производственной сфере (ПС) ДММФ учитывается научно-технологический прогресс?

6. Что такое технологическое множество (технологический конус) ПС ДММФ?

7. Как осуществляется переход от описания в матричной форме ПС ДММФ к её описанию в конической форме?

8. Как осуществляется переход от описания в конической форме ПС ДММФ к её описанию в матричной форме?

9. Как содержательно интерпретируется условие замкнутости ПС ДММФ?

10. Как определяются допустимые и оптимальные траектории интенсивностей ПС ДММФ?

11. Как определяется прибыль основного производственного процесса?

12. Какова взаимосвязь между реальным и модельным временем в ПС и монетарной сфере (МС) ДММФ?

13. Как определяются допустимые и оптимальные траектории цен МС ДММФ?

14. Что такое стационарная траектория интенсивностей ПС ДММФ? Каковы её основные характеристики? Дайте геометрическую интерпретацию стационарной траектории интенсивностей.

15. Что такое траектория максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей (ТМсППРИ)? Что такое модель максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей (ММсППРИ) ПСДММФ? Что такое теория максимального постоянного роста интенсивностей (ТеМсППРИ)? Преобразуйте ММсППРИ в задачу на максимин.

16. Что такое стационарная траектория цен МсДММФ? Каковы её основные характеристики? Дайте геометрическую интерпретацию стационарной траектории цен.

17. Что такое траектория минимального постоянного пропорционального падения цен (ТМиПППЦ)? Что такое модель минимального постоянного пропорционального падения цен (ММиПППЦ) МС ДММФ? Что такое теория минимального постоянного пропорционального падения цен (ТеМиПППЦ)? Преобразуйте ММиПППЦ в задачу на минимакс.

18. Как определяется динамическое равновесие (ДР) ДММФ? Дайте развёрнутую и краткую версию ДР ДММФ?

19. Что такое траектория роста интенсивностей ДР и её основные характеристики?

20. Что такое траектория падения цен ДР и её основные характеристики?

21. Что такое модель динамического равновесия (МДР) ДММФ? Что такое теория динамического равновесия (ТеДР)?

22. Как можно охарактеризовать взаимосвязь между МДР ДММФ, с одной стороны, и ММсППРИ ПС ДММФ и ММиПППЦ МС ДММФ, с другой стороны?

23. Как определяются понятия невырожденного и вырожденного спектров ДММФ?

24. Сформулируйте достаточные условия существования ДР ДММФ.

25. Каковы мощности невырожденного и вырожденного спектров ДММФ?

26. Как формулируются условия дополняющей нежёсткости ДР ДММФ? Приведите доказательства условий дополняющей нежёсткости.

27. Что такое магистральное свойство оптимальной траектории интенсивностей ПС ДММФ? Приведите формулировку одной из теорем о магистрали.

28. В чём теоретическое значение магистрального свойства?

29. В чём заключается прикладное значение магистрального свойства?

Задачи и упражнения к главе четырнадцатой для самоконтроля.

1. Привести конкретный пример фрагмента экономической реальности, который можно описать с помощью ПС ДММФ.

2. Показать, что замкнутая динамическая межотраслевая модель (ЗДМОМ) укладывается в формальную схему ПС ДММФ.

3. Доказать, что если то (см. параграф 14.2 и 14.3).

4. Доказать, что если то (см. параграф 14.2 и 14.3).

5. Пусть матрица затрат, матрица выпуска ДММФ.

   1. Найти основные характеристики ТрМсППРИ, решив задачу на максимин. Выписать ТрМсППРИ.

   2. Найти основные характеристики ТрМиППРИ, решив задачу на минимакс. Выписать ТрМиППРИ.

   3. В случае выписать ДР Проверить условия дополняющей нежёсткости.

   4. В случае описать вырожденный спектр ДММФ.

   5. В случае описать все ДР (невырожденные и вырожденные) ДММФ.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

6. Привести пример матриц и ДММФ таких, что но среди векторов нет положительных.

7. Привести пример матриц и ДММФ таких, что но среди векторов нет положительных.

Тесты к главе четырнадцатой для контрольных работ.

1. Продолжительность траектории перехода из начального состояния в сбалансированное для ПС ДММФ не зависит от:

1. Начального состояния

2. Углового расстояния между начальным и сбалансированным состоянием;

3. Сбалансированного состояния;

4. От продолжительности временного промежутка ПС ДММФ.

2. Коэффициент роста ДР ДММФ является наибольшим, если:

А. Целевой вектор ПС ДММФ положителен;

Б. Вектор цен равновесия положителен;

В. Вектор интенсивностей равновесия положителен;

Г. Вектор интенсивностей нулевого (базового) периода положителен.

1. Только А;	4. Только Г, В;
2. Только Б;	5. Только А, В;
3. Только В;	6. Только А, Г.

3 Коэффициент роста ДР ДММФ является наименьшим, если:

А. Целевой вектор ПС ДММФ положителен;

Б. Вектор цен равновесия положителен;

В. Вектор интенсивностей равновесия положителен;

Г. Вектор интенсивностей нулевого (базового) периода положителен.

1. Только А;	4. Только Г;
2. Только Б;	5. Только А, Б;
3. Только В;	6. Только А, Г.

4 Коэффициент роста ДР ДММФ является единственным, если:

А. Целевой вектор ПС ДММФ положителен;

Б. Вектор цен равновесия положителен;

В. Вектор интенсивностей равновесия положителен;

1. Только А;	4. Только А, Б;
2. Только Б;	5. Только Б, В;
3. Только В;	6. Только А, В.

5 Основные характеристики траектории максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей:

1. Начальными условиями (при

2. Конечными условиями (при

3. Структурными параметрами (матрицами и

4. Целевой функцией (целевым терминальным вектором

5. Длиной временного промежутка ПС ДММФ.

6 Теорема о магистрали для ПС ДММФ:

А. Устанавливает связь на продолжительном временном промежутке между оптимальной траекторией ПС ДММФ и траекторией максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей.

Б. Позволяет прогнозировать структурные параметры ПС ДММФ на далёкую перспективу.

В. Даёт рациональное решение проблемы выбора терминальной целевой функции для ПС ДММФ, в случае продолжительного временного промежутка.

Г. Позволяет определить оптимальную продолжительность временного промежутка модели.

1. Только А, Б;	4. Только Б, В;
2. Только А, В;	5. Только В, Г.
3. Только А, Г;

7 Магистральный темп роста и структура магистрального вектора интенсивностей ПС ДММФ определяются:

1. Её начальным (базовым) вектором;

2. Её технологическим множеством;

3. Её целевым вектором (вектором

4. Первым участком её оптимальной траектории.

8 Наиболее естественной является следующая (генетическая) связь между теориями экономической динамики:

1. ТО  ТеМсППРИ  ТДР;

2. ТДР  ТО  ТеМсППРИ;

3. ТО  ТДР  ТеМсППРИ;

4. ТДР  ТеМсППР  ТО;

5. ТеМсППР  ТО  ТДР.

(ТО – теория оптимизации)

9 В случае разрешимой модели максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей в её решение в качестве элемента решения входит:

1. Конечное число различных коэффициентов роста, для которых существуют невырожденные положения равновесия;

2. Бесконечное число различных коэффициентов роста, для которых существуют вырожденные положения равновесия;

3. Ни одного коэффициента роста;

4. Только один коэффициент роста.

10. Если оптимальная траектория интенсивностей обладает магистральным свойством, то не следует:

1. Задавать конечные условия;

2. Сглаживать её первый участок;

3. Сглаживать её второй участок;

4. Сглаживать её третий участок;

5. Строить траекторию, которая её аппроксимирует.

11. Модель максимального постоянного пропорционального роста представляет собой:

1. Задачу линейного программирования;

2. Двойственную пару задач линейного программирования;

3. Задачу квадратичного программирования;

4. Систему линейных неравенств;

5. Задачу на собственное число и собственный вектор.

12. Погодовые структурные сдвиги на траектории интенсивностей наиболее естественно оценивать с помощью следующего показателя:

1. Наибольшего отношения одноимённых координат векторов интенсивностей двух смежных периодов временного промежутка;

2. Отношения норм векторов интенсивностей двух смежных периодов временного промежутка;

3. Углового расстояния между векторами интенсивностей двух смежных периодов временного промежутка;

4. Косинуса углам между векторами интенсивностей двух смежных периодов временного промежутка;

5. Такого показателя не существует.

12. ПС ДММФ представляет собой:

1. Задачу линейного программирования;

2. Двойственную пару задач линейного программирования;

3. Задачу квадратичного программирования;

4. Систему линейных неравенств;

5. Задачу на собственное число и собственный вектор.

14. МДР (матрицы затрат и выпуска таковы, что

А. В динамическом равновесии свободный продукт имеет нулевую цену.

Б. Функционирующие в динамическом равновесии основные процессы дают максимальную (т.е. нулевую) прибыль.

В. Для функционирования в динамическом равновесии безотносительно к длине временного промежутка необходимо наличие неограниченных ресурсов (в том числе естественных факторов производства).

1. Только А, Б;	4. Только А, В;
2. Только Б;	5. Только Б, В.
3. Только А;

15. Траектория максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей обладает следующим свойством:

1. Её погодовые элементы имеют разные структуры;

2. По всем интенсивностям она монотонна во времени;

3. В качестве её начального вектора может быть взят любой ненулевой неотрицательный вектор;

4. Её коэффициент роста зависит от целевого вектора (целевых векторов);

5. Её темп роста зависит от углового расстояния между структурами её начального вектора и начального вектора ПС ДММФ.

16. Элементы траектории максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей:

1. Являются решением задачи линейного программирования;

2. Определяются вектором интенсивностей базового года;

3. Определяются вектором интенсивностей, задающим конечное условие;

4. Имеют постоянную структуру в течение всего временного промежутка.

17. Если оптимальная траектория интенсивностей обладает магистральным свойством, то:

1. Её первый участок обязательно является монотонным;

2. Её второй участок обязательно является монотонным;

3. Её третий участок обязательно является монотонным;

4. Первый участок траектории, которая её аппроксимирует, обязательно является монотонным;

5. Она позволяет определить оптимальную продолжительность временного промежутка ПС ДММФ.

18. Теоретической оценкой продолжительности траектории перехода из начального состояния в сбалансированное для ПС ДММФ:

1. Длина временного промежутка;

2. Длина третьего отрезка оптимальной траектории;

3. Длина второго отрезка оптимальной траектории;

4. Длина первого отрезка оптимальной траектории;

5. Длина первого и второго отрезка оптимальной траектории.

19. На магистральный темп роста и структуру магистрального вектора валовых выпусков существенно влияет:

1. Продолжительность модельного временного промежутка;

2. Целевой вектор;

3. Начальное условие;

4. Погодовая динамика угловых расстояний между векторами валовых выпусков в первые годы временного промежутка;

5. Матрица замыкания.

20. Теорема о магистрали для ПС ДММФ:

А. Служит основанием для построения траектории, аппроксимирующей оптимальную в течение всего продолжительного временного промежутка модели;

Б. Позволяет оценить уровень модельной сбалансированности экономической системы в базовом году временного промежутка модели;

В. Даёт рациональное решение проблемы «хвоста» в случае продолжительного временного промежутка ПС ДММФ;

Г. Даёт рациональное решение проблемы сглаживания оптимальной траектории на продолжительном временном промежутке модели.

1. Только А, Б, В;	4. Только Б, В, Г;
2. Только А, Б, Г;	5. Только А, Б.
3. Только А, В, Г;

21. Комплексной характеристикой уровня сбалансированности в базовом году развивающейся экономической системы, описываемой ПС ДММФ, является:

1. Выполнение начального условия;

2. Коэффициент максимального постоянного пропорционального роста интенсивностей;

3. Угловое расстояние между базовым и магистральным векторами интенсивностей;

4. Угловое расстояние между векторами интенсивностей базового и первого года;

22. Процедура сглаживания оптимальной траектории интенсивностей ПС ДММФ осуществляется в целях:

1. Сохранения размерности ПС ДММФ;

2. Усиления магистрального эффекта оптимальной траектории ПС ДММФ;

3. Корректировки магистрального вектора интенсивностей;

4. Уменьшение разницы между интенсивностями смежных лет временного промежутка;

5. Корректировки магистрального коэффициента роста интенсивностей.

23. Связь между двумя теориями экономической динамики осуществляется посредством третьей теории экономической динамики:

1. ТДР, ТеМсППРИ, МТ;

2. ТДР, МТ, ТеМсППРИ;

3. ТО, МТ, ТеМсППРИ;

4. ТО, ТеМсППРИ, МТ;

5. МТ, ТеМсППРИ, ТО.

Задачи к главе четырнадцатой для контрольных работ.

1. Пусть матрица затрат, матрица выпуска ДММФ.

1. Найти основные характеристики ТрМсППРИ, решив задачу на максимин. Выписать ТрМсППРИ.

2. Найти основные характеристики ТрМиППРИ, решив задачу на минимакс. Выписать ТрМиППРИ.

3. В случае выписать ДР Проверить условия дополняющей нежёсткости.

4. В случае выписать вырожденный спектр ДММФ.

5. В случае выписать все ДР (невырожденные и вырожденные) ДММФ.

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2. Пусть в ДР вектор таков, что Доказать, что и принадлежит невырожденному спектру ДММФ.

3. Пусть в ДР вектор таков, что Доказать, что и принадлежит невырожденному спектру ДММФ.

4. Пусть в ДР вектор и таковы, что и Доказать, что единственный коэффициент роста ДММФ и принадлежит невырожденному спектру.

14—44