Пример 14.2.5.

Для матриц

имеем

Нарисуем эскизы графиков обеих дробно-линейных функций (см. Рис. 14.7). Очевидно, графиком функции является линия Точка не рассматривается, ибо при левая дробь имеет вид и поэтому не учитывается. Самой высокой точкой линии является точка Следовательно, задача на максимин в рассматриваемом случае имеет вид

Непосредственное проверяется, что

Для имеем

Н арисуем графики обеих функций (I) и (II) (см. Рис. 14.8). Очевидно, графиком функции является линия Точка не рассматривается, ибо при правая дробь имеет вид и поэтому не учитывается. Самыми низкими точками графика функции являются точки отрезка с координатами где (при линии (I) и (II) пересекаются, что проверяется непосредственно). Следовательно, задача на минимакс имеет решение

Непосредственно проверяется, что

В рассматриваемом примере однако вектор определяется неоднозначно.

14.3 Динамическое равновесие динамической модели в матричной форме.

Динамическое равновесие (ДР) динамической модели в матричной форме (ДММФ) называется пара стационарных траекторий интенсивностей и цен

(14.3.1)
(14.3.2)

таких, что основные характеристики этих траекторий удовлетворяют условиям

(14.3.3)
(14.3.4)
(14.3.5)
(14.3.6)
(14.3.7)
(14.3.8)
(14.3.9)

Таким образом ДММФ находится в ДР, если развитие в ней осуществляется по стационарным траекториям (т.е. по траекториям сбалансированного развития) интенсивностей и цен.

Система неравенств и уравнений (14.3.3) – (14.3.9) называется моделью динамического равновесия (МДР) ДММФ. Теория динамического равновесия (ТДР) анализирует свойства МДР. Траектория (14.3.1) называется траекторией интенсивностей ДР, траектория (14.3.2) называется траекторией цен ДР.

Коэффициент называется коэффициентом роста ДР, векторы и векторами интенсивностей и цен ДР. Для краткости ДР ДММФ называется набор из коэффициента роста и векторов и интенсивностей и цен ДР, что символически показывается так:

ДР с коэффициентом роста называется невырожденным, если

(14.3.10)

и вырожденным, если

(14.3.11)

Для данного коэффициента роста могут быть ДР как невырожденные, так и вырожденные. Содержательный интерес представляют коэффициенты роста для которых обязательно существуют невырожденные ДР. Для этих коэффициентов вырожденные ДР также могут быть.

Если ДР невырожденное, то откуда следует, что т.е. «общая стоимость» в ценах равновесия выпуска равновесия положительна и постоянна во времени, что означает, что в случае роста интенсивностей равновесия цены равновесия должны падать в реальном времени: постоянство денежной массы в условиях экономического роста означает необходимость падения цен во времени.

Множество всех коэффициентов роста для которых обязательно существуют невырожденные ДР, называется невырожденным спектром ДММФ. Множество всех коэффициентов роста для которых существуют лишь вырожденные ДР, называется вырожденным спектром ДММФ.

ДР ДММФ является важным понятием как с содержательной экономической точки зрения, так и с формально математической точки зрения.

С математической точки зрения МДР, точнее векторные неравенства (14.3.3) и (14.3.4), представляет собой нетривиальное обобщение задачи на собственные числа и правые и левые собственные векторы как для матрицы

так и для матричного пучка

В связи с ДР ДММФ возникают три вопроса: вопрос о существовании невырожденного ДР, вопрос о числе различных коэффициентов роста в случае невырожденного и вырожденного спектров и вопрос об условиях дополняющей нежёсткости.

В предположении существования ДР которое может быть как невырожденным, так и вырожденным для доказательства условий дополняющей нежёсткости не требуется условий накладывать на матрицы и никаких условий.

В предположении существования ДР для доказательства того, что невырожденный спектр ДММФ обязательно содержит не более различных коэффициентов роста также не требуется накладывать на матрицы и никаких условий.

Для доказательства существования ДР используются различные достаточные условия.

Первое достаточное условие было предложено Дж. фон Нейманом:

пусть матрицы и матрицы с неотрицательными элементами, т.е. и пусть

Тогда существует единственный коэффициент который может принадлежать как невырожденному, так и вырожденному спектру и для которого справедливы равенства (см. параграф 14.2).

Если и то если и то (ситуация рога изобилия). Оба этих крайних варианта являются чисто формальными и не представляют интереса с содержательной точки зрения.

Второе достаточное условие существования ДР было предложено в работе трёх авторов (Дж. Кемени, О. Моргенштерн, Дж. Томпсон), опубликованный в журнале Econometrica в 1956 г.

Пусть матрицы и неотрицательны и в каждой строке матрицы и в каждом столбце матрицы есть хотя бы один ненулевой элемент. Тогда существует хотя бы один коэффициент принадлежащей невырожденному спектру, причём наибольший их таких равен а наименьший равен (см. параграф 14.2).

Если в ДР вектор то Приведём простое достаточное условие существования коэффициента принадлежащего невырожденному спектру.

Пусть пусть и пусть матрица примитивна и пусть правый собственный вектор матрицы соответствующей числу Перрона матрицы (матрицы и имеют одинаковые спектры), положителен.

Тогда существует единственный коэффициент принадлежащей невырожденному спектру, с единственным ДР

Докажем это.

По теореме Г. Фробениуса примитивная матрица имеет число Перрона и левый вектор Перрона такие, что откуда следует, что

т.е. число и вектор удовлетворяют неравенству (14.3.4) как равенству.

Таким образом набор ДР ДММФ.

Принадлежность к невырожденному спектру следует из неравенства

которое справедливо в силу того, что матрица и векторы и положительны.

Единственность вытекает из неравенств и

Пусть матрицы и имеют размеры Тогда может существовать не более различных коэффициентов роста принадлежащих невырожденному спектру ДММФ.

Пусть в ДР коэффициент роста принадлежит невырожденному спектру ДММФ, тогда существует пара индексов и такая, что

и

Пусть коэффициент роста и принадлежат невырожденному спектру и таковы, что

Пусть две пары координат и таковы, что справедливы неравенства и

Имеем

Поскольку и постольку Следовательно, может быть не более, чем различных коэффициентов роста принадлежащих невырожденному спектру.

Аналогично показывается, что может быть не более, чем различных коэффициентов роста принадлежащих неврожденному спектру.

Условия дополняющей нежёсткости для ДР имеют вид:

Если то если то (первое условие дополняющей нежёсткости).

Если то если то (второе условие дополняющей нежёсткости).

Дадим содержательную интерпретацию первому условию дополняющей нежёсткости.

Из равенства следует, что т.е. Верно и обратное. Из неравенства следует, что Верно и обратное.

Отсюда следует, что если основной процесс в ДР функционирует, то он даёт максимальную прибыль в ценах равновесия. Если основной процесс в ДР не даёт максимальной прибыли, то он в ДР не функционирует, ибо

Дадим содержательную интерпретацию второму условию дополняющей нежёсткости.

Из равенства следует, что т.е. т.е. продукт в периоде затрачивается ровно в том количестве, в котором он был выпущен в периоде Верно и обратное. Из неравенства следует, что Верно и обратное. Отсюда вытекает, что если в ДР продукт имеет положительную цену то в периоде он затрачивается ровно в том объёме, в котором он был выпущен в предыдущем периоде Если же в ДР в периоде продукт затрачивается в меньшем объёме, чем он был выпущен в предыдущем периоде то продукт является свободным в ДР, т.е. его цена

Выше уже отмечалось, что наибольший коэффициент роста ДР равен а наименьший равен Отсюда следует, что среди траекторий интенсивностей и цен ДР обязательно находятся ТрМсППРИ и ТрМиПППЦ (см. параграф 14.2).

Верно и обратное. Пару которая является оптимальным решением ММсППРИ, можно пополнить вектором таким, что тройка станет ДР ДММФ. Пару которая является оптимальным решением ММиПППЦ, можно пополнить вектором таким, что тройка станет ДР ДММФ.

Таким образом установится взаимосвязь между тремя моделями: МДР, с одной стороны, и ММсППРИ и ММиПППЦ, с другой стороны.

Эта взаимосвязь аналогична двум теоремам экономики благосостояния, которые описывают взаимосвязь между эффективностью по Парето (её аналогом являются ММсППРИ и ММиПППЦ) и конкурентным равновесием (его аналогом является ДР).

В заключение этого параграфа приведём доказательство первого условия дополняющей нежёсткости. Будут приведены рассуждения, аналогичные рассуждениям, используемым для доказательства второй теоремы двойственности в линейном программировании. Однако следует добавить, что исторически двойственный подход в теории ДР ДММФ был предложен на ряд лет раньше, чем появилась теория двойственности в линейном программировании, да и само линейное программирование.

Векторное неравенство

(14.3.12)

распишем покоординатно

Умножив каждое скалярное неравенство на соответствующую координату и сложив полученные неравенства будем иметь

откуда следует, что

(14.3.13)

Принимая во внимание равенства перепишем неравенство (14.3.13) так

(14.3.14)

Аналогично поступив с векторным неравенством

получим неравенство

(14.3.15)

Из (14.3.14) и (14.3.15) следует равенство

(14.3.16)

которое следует расписать в виде скалярного произведения

(14.3.17)

В каждом слагаемом оба множителя и неотрицательны. Следовательно, левая часть равенства (14.3.16) содержит все слагаемые одного знака. Отсюда следует, что каждое слагаемое левой части равенства (14.3.16) равно нулю, т.е. Поэтому, если то Если же то обязательно

Таким образом первое условие дополняющей нежёсткости доказано. Второе условие дополняющей нежёсткости доказывается аналогично.