Глава 14 моделирование динамического равновесия

14.1 Динамическая модель в матричной форме и оптимизация её траекторий.

Динамическая модель в матричной форме (ДММФ), предложенная Дж. фон Нейманом, состоит из двух сфер: производственной (ПС) и монетарной (МС). Основными понятиями модели являются основной производственный процесс (для краткости, процесс), интенсивность (кратность), его использования, продукт и цена продукта. В модели реализован принцип «затраты – выпуск».

Предполагается, что существует конечное число (скажем, основных производственных процессов. В каждом основном производственном процессе продукты затрачиваются и выпускаются в определённых количествах. Формально основной производственный процесс представляет собой мерный вектор-строку где число продуктов Вектор-строка называется вектором затрат, вектор-строка вектором выпуска. Число показывает, сколько единиц продукта затрачивается в основном процессе (если продукт в процессе затрачивается, то если не затрачивается, то Аналогично, число показывает, сколько единиц продукта выпускается в основном процессе (если продукт в процессе выпускается, то если не выпускается, то

Количества затрачиваемых и выпускаемых продуктов «привязаны» к одному периоду времени («атому» времени), который называется производственным периодом и может, например, равняться одному году, т.е. время предполагается дискретным. Упорядоченная совокупность (производственных) периодов называется временным промежутком ДММФ. Число периодов временного промежутка называется временным горизонтом ДММФ. Предполагается, что число основных процессов число продуктов и количества затрачиваемых и выпускаемых в каждом процессе продуктов от периода к периоду не меняются.

Предположения о возможности соединённых затрат и соединённых выпусков отражают важные фрагменты экономической реальности. Например, в процессе, описывающем функционирование доменной печи, затрачиваются в определённых количествах кокс, железная руда и чугун, а выпускаются чугун и шлаки. Чугуна выпускается больше, чем его затрачивается.

Если два основных процесса и используются одновременно, то каждый продукт теперь затрачивается в количестве единиц и выпускается в количестве т.е. использование основных процессов и можно толковать как процесс который равен покоординатной сумме процессов и

Если основной процесс используется с интенсивностью (кратностью) то каждый продукт теперь затрачивается и выпускается в количествах и единиц соответственно, т.е. основной процесс используемый с интенсивностью можно толковать как процесс который равен покоординатному произведению процесса на число Если процесс не используется, то его интенсивность верно и обратное.

Теперь естественно определить допустимый процесс как неотрицательную линейную комбинацию основных процессов с неотрицательными коэффициентами Векторы затрат и выпуска этого допустимого процесса соответственно имеют вид и т.е. Здесь неотрицательный вектор-строка, а матрицы и составлены из строк и соответственно. Матрица называется матрицей затрат, матрица матрице выпуска.

Множество всех допустимых процессов образует неотрицательный конус в неотрицательном ортанте пространства конус натянут на основные процессы Этот конус называется технологическим множеством ПС ДММФ или технологией ПС ДММФ.

Предполагается, что смежные периоды и между собой связаны следующим образом

(14.1.1)

где и векторы интенсивностей использования основных процессов в периоды и соответственно. Векторное неравенство (14.1.1) означает, что в следующем периоде можно затратить каждого продукта в количестве не большем, чем его было выпущено в предыдущем периоде в количестве Здесь и е столбцы матриц и соответственно.

Формально ПС ДММФ представляет собой систему линейных неравенств

(14.1.2)
(14.1.3)
(14.1.4)

Равенство заданный вектор) называется начальным условием. Упорядоченная совокупность векторов интенсивностей называется допустимой траекторией интенсивностей ПС ДММФ (с начальным условием Очевидно, модельное время ПС ДММФ совпадает с реальным временем.

К неравенствам 14.1.2 – 14.1.4 можно добавить максимизируемую целевую функцию

(14.1.5)

Тогда получится задача математического программирования, размерность которой будет зависеть не только от чисел и но и от временного горизонта ПС ДММФ. Допустимая траектория интенсивностей, максимизирующая целевую функцию, называется оптимальной траекторией интенсивностей ПС ДММФ (с начальным условием Оптимальная траектория интенсивностей обозначается символом (символ штрих к производной отношения не имеет).

Целевая функция (14.1.5) может быть как терминальной,

(14.1.6)

так и интегральной

(14.1.7)

Здесь число дисконтирующий множитель, а число норма дисконтирования.

Далее в основном рассматривается терминальная целевая функция (14.1.6) с целевым вектором

ПС ДММФ и экстремальные задачи, построенные на её основе, имеют широкий класс содержательных областей не микро- и макроэкономическом уровнях. Каждый основной процесс ПС ДММФ может описывать производственный способ фирмы, которую тогда следует толковать как совокупность основных производственных процессов, который могут конкурировать между собой. Каждый основной производственный процесс ПС ДММФ может описывать отрасль национальной экономики, производственную сферу которой тогда следует толковать как совокупность своих отраслей. Основной производственный процесс может описывать процесс хранения, транспортировки продуктов. Если продукт является капиталом, то его можно включить в вектор выпуска с учётом годовой нормы износа В конце этого параграфа рассматриваются конкретные примеры ПС ДММФ.

Каждый продукт в периоде имеет цену Тогда скалярные произведения и представляют собой общую «стоимость» затрат и общую «стоимость» выпуска в период соответственно. В связи с тем, что вектор выпуска фактически используется в следующем после выпуска периоде естественно, прибыль, которую даёт процесс определить так

(14.1.8)

Поскольку в условиях чистой конкуренции в долговременном промежутке прибыль фирмы равна нулю, постольку естественно предположить, что прибыль (14.1.8) процесса неположительна

(14.1.8)

Формально МС ДММФ представляет собой систему линейных неравенств

(14.1.10)
(14.1.11)
(14.1.12)

Равенство заданный вектор) называется начальным условием. Упорядоченная совокупность векторов называется допустимой траекторией цен МС ДММФ (с начальным условием Формальная структура МС ДММФ такова, что её модельное время противоположно реальному времени.

К неравенствам (14.1.10) – (14.1.12) можно добавить терминальную целевую функцию

(14.1.13)

Если то задача линейного программирования (14.1.13), (14.1.10) – (14.1.12) будет сопряжённой к задаче линейного программирования (14.1.6), (14.1.2) – (14.1.4).

Допустимая траектория цен минимизирующая целевую функцию (14.1.13), называется оптимальной траекторией цен МС ДММФ (с начальным условием Оптимальная траектория цен обозначается символом (в модельном времени) или символом (в реальном времени). Отметим, что разнонаправленность модельного и реального времени, которая имеет место для модели (14.1.10) – (14.1.12) ((14.1.13), (14.1.10) – (14.1.12)), существует для любой задачи, сопряжённой к исходной динамической задаче (в математическом программировании, теории оптимального управления).

Динамическая модель в матричной форме (ДММФ) представляет собой объединение своих производственной и монетарной сфер, т.е. систему линейных неравенств (14.1.1) – (14.1.4) и (14.1.10) – (14.1.12).

ПС ДММФ охватывает в качестве частных случаев широкие классы динамических межотраслевых моделей (ДМОМ) с лагом капитальных вложений продолжительностью в один год и более одного года. Содержательными областями ДМОМ являются национальные и региональные экономики, так что с точки зрения содержательных областей ДМОМ – это модели макроэкономические. С точки зрения структурно-математической ДМОМ относятся к моделям микроэкономики подобно тому, как модель общего экономического равновесия также относится к моделям микроэкономики.

ДМОМ в замкнутом варианте с постоянными во времени матрицами и матрица коэффициентов прямых материальных затрат с учётом затрат на возмещение выбытия основного производственного капитала, основного и оборотного капитала, матрица замыкания) имеет вид

(14.1.14)
(14.1.15)
(14.1.16)

где вектор выпусков отраслей.

Полагая в (14.1.14), (14.1.15), (14.1.16),

(14.1.17)

(здесь штрих – символ транспонирования), получаем, что ДМОМ в замкнутом варианте укладывается в формальную схему ПС ДММФ (14.1.2) – (14.1.4).

ДМОМ в замкнутом варианте, в которой учитывается экономический фактор, также укладывается в формальную схему ПС ДММФ (14.1.2) – (14.1.4).

ДМОМ в замкнутом варианте с учётом затрат на борьбу с загрязнением окружающей среды имеет вид

(14.1.18)
(14.1.16)

и матрицы основного и оборотного капитала, матрица коэффициентов прямых материальных затрат без учёта затрат на возмещение выбытия основного производственного капитала, матрица амортизации, матрица амортизации, матрица прироста основного производственного капитала для устранения загрязнений окружающей среды, матрица прироста матрицы амортизации в связи с приростом основного производственного капитала, матрица прироста текущих материальных затрат в связи с наличием дополнительных материальных затрат для устранения загрязнений окружающей среды.

Полагая в (14.1.18), (14.1.16)

получаем, что ДМОМ в замкнутом варианте с учётом затрат на борьбу с загрязнением окружающей среды укладывается в формальную схему ПС ДММФ (14.1.2) – (14.1.4).

ПС ДММФ допускает обобщения в разных направлениях. В частности, возможен переход от постоянных матриц и , которые позволяют учитывать научно-технологический прогресс в экзогенной форме. В этом случае ПС ДММФ описывается следующей системой линейных неравенств

(14.1.19)
(14.1.20)
(14.1.4)

Терминальная (14.1.6) и интегральная (14.1.7) целевые функции при этом не корректируются.

МС ДММФ описывается в этом случае такой системой линейных неравенств

(14.1.21)
(14.1.22)
(14.1.12)

Промежуточным вариантом между ДММФ с постоянными и переменными во времени матрицами и является ДММФ с асимптотически постоянными матрицами и