3. Векторы и прямые произведения.

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т. д.

Определение. Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы и равны, если и .

Определение. Прямым произведением множеств А и В (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар , таких, что . В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А². Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторов длины п, таких, что .

Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.

Определение. Проекцией вектора на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается пр_ia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема 1.1. Мощность произведения конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств: .

Следствие. .

Эта простая теорема и её следствие впоследствии широко используются в комбинаторике.

Лекция № 2. Соответствия и функции.

1. Соответствия.

Определение. Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения: .

Если , то говорят, что соответствует при соответствии . При этом множество всех таких называют областью определения соответствия , а множество соответствующих значений называются областью значений соответствия .

В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементу называется образом при соответствии , наоборот, элемент называется прообразом элемента при данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым, если , то есть каждый элемент множества имеет хотя бы один образ во множестве ; в противном случае соответствие называется частичным.

Соответствие называется сюръективным, если , то есть если каждому элементу множества соответствует хотя бы один прообраз во множестве .

Соответствие называется функциональным (однозначным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества .

Соответствие называется инъективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет не более одного прообраза.

Соответствие называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества , и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет единственный прообраз.

Пример 1.

а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимнооднозначным, так как каждому значению функции соответствуют два прообраза и .

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

г) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимнооднозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.