Примеры для самостоятельного решения
I Найти дифференциал функции:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;
12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
.
II Найти дифференциал второго порядка функции , если:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
.
III Найти дифференциал второго порядка функции в указанной точке:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
.
IV Производная по направлению и градиент
Рассмотрим на плоскости точку
и исходящий из нее луч
.
Определение 1. Под производной
функции
по направлению
в точке М понимается конечный предел
отношения приращения функции в это
направлении к величине перемещения
точки по лучу, при условии, что последняя
стремится к нулю, то есть
.
Из этого определения следует, что частные
производные
и
можно рассматривать как производные
функции
по положительному направлению осей
координат ОХ и OY.
Производная
определяет скорость изменения функции
в направлении
,
ее величина определяется по формуле:
,
где
-
единичный вектор на направлении
(здесь
);
-
угол, составляемый вектором
с положительным направлением оси ОХ,
-
угол, составляемый вектором
с положительным направлением оси ОY.
и
называются направляющими косинусами
данного направления.
Аналогично, для функции трех переменных
ее производная в направлении
равна
,
где
-
углы между направлением
и положительными направлениями трех
координатных осей;
.
Замечание. Если вектор имеет
координаты
, то есть
,
то направляющие косинусы вычисляются
по формулам:
.
Определение 2. Градиентом функции
в точке
называется вектор, координаты которого
равны соответствующим частным производным
,
в точке
и обозначается
.
Используя понятие градиента, и учитывая,
что вектор
имеет координаты
и
,
можно представить производную по
направлению в виде скалярного произведения
векторов
и
:
,
где
- длина вектора
,
вычисляемая по правилу:
.
Здесь угол
-
угол между векторами
и
.
Очевидно, что производная функции по
направлению
имеет наибольшую величину при
(
),
то есть когда направление вектора
совпадает с направлением
.
Таким образом, градиент функции
в точке
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в данной точке.
На практике, в частности, в теории оптимального управления широко используется понятие градиента скалярной функции.
Аналогично, для функции трех переменных
вводится понятие градиента
.
Пример 1. Найти производную функции
по направлению вектора
в точке М, если
.
Найдем частные производные:
.
Вычислим их в заданной точке:
.
Определим длину вектора
,
то есть вектор
-
единичный, а поэтому
.
Используя формулу для нахождения производной по направлению, получим:
.
Пример 2. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора
,
если
.
Найдем частные производные:
.
Вычислим их в точке
:
.
Определим координаты вектора
:
.
Длина вектора:
.
Определим направляющие косинусы этого
вектора:
.
Тогда
.
Пример 3. Найти производную функции
в точке М по данному направлению, если:
,
по направлению луча, образующего с осью
ОХ угол 1350.
;
.
Так как
,
то
;
.
Тогда
.
Пример 4. Найти градиент функции
в точке М, если
.
Найдем частные производные:
;
.
Тогда
.
Пример 5. Найти наибольшее значение
в точке М, если
.
Как уже отмечалось, наибольшее значение
в точке М равно модулю градиента в
этой точке, то есть
.
Поэтому, сначала определим
,
а затем найдем его модуль.
;
.
,
.
Следовательно,
.