Случайные события

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят, что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A – алгебра. Функция  , отображающая алгебру в множество действительных чисел

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

Мера

Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию

Конечная мера

Мера называется конечной, если

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая , что

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

Когда вы пишите P всегда представляйте себе, какое пространство элементарных исходов и сигма-алгебра имеются в виду. Тогда вы сможете избежать многих ошибок

Обозначение P (Probability) для вероятности является стандартным, не стоит только забывать,что сама по себе (без определения пространства элементарных исходов и сигма-алгебры) вероятность не определена.

Число

называют вероятностью события A

Вероятностное пространство

Вероятностное пространство это совокупность трех объектов – пространства элементарных исходов, сигма-алгебры событий и вероятности.

Это и есть математическая модель случайного явления или объекта.

Парадокс определения вероятностного пространства

Вернемся к исходной постановке задачи теории вероятностей. Нашей целью было построение математической модели случайного явления, которая помогла бы количественно оценить вероятности случайных событий. В то же время для построения вероятностного пространства необходимо задать вероятность, т.е. вроде бы именно то, что мы ищем (?).

Разрешение этого парадокса в том, что для полного определения вероятности как функции на всех элементах F, обычно достаточно задать ее на лишь на некоторых событиях из F, вероятность которых нам легко определить, а затем, пользуясь ее счетной аддитивностью, вычислить на любом элементе F.

Независимые события

Важным понятием теории вероятностей является независимость.

События A и B называются независимыми, если

т.е. вероятность одновременного осуществления этих событий равна произведению их вероятностей.

Попарно

События в счетном или конечном наборе называются независимыми попарно, если любая пара из них является парой независимых событий

В совокупности

События в счетном или конечном наборе называются независимыми в совокупности , если вероятность одновременного осуществления любого конечного поднабора из них равна произведению вероятностей событий этого поднабора.

Ясно, что независимые в совокупности события независимы и попарно. Обратное неверно.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B называется величина

Условную вероятность пока определим лишь для событий B, вероятность которых не равна нулю.

Если события A и B независимы, то

Свойства и теоремы

Простейшие свойства вероятности

Следует из того, что А и не-А противоположны и свойства конечной аддитивности вероятности	Вероятность противоположного события
Следует из того, что невозможное и достоверное события противоположны	Вероятность невозможного события
Следует из того , что	Монотонность вероятности и в этом случае
Следует из того, что любое событие содержится в пространстве элементарных исходов	Ограниченность вероятности
Следует из представления	Вероятность объединения событий
Следует из предыдущего	Полуаддитивность вероятности
Следует из счетной аддитивности вероятности и определения полной группы событий	Вероятности полной группы событий Сумма вероятностей полной группы событий равна 1.
Следует из счетной аддитивности вероятности, определения полной группы событий и определения условной вероятности	Формула полной вероятности Если … - полная группа событий, то для любого события A Если вероятности всех событий полной группы больше нуля, то также
Следует из предудущей формулы и определения условной вероятности	Формула Байеса Если … - полная группа событий ненулевой вероятности , то для любого события A с ненулевой вероятностью