Определения Подмножества

Если пространство элементарных исходов определено, то появляется возможность описать любое событие, происшедшее в опыте, просто указав, какие элементарные исходы ему соответствуют.

Пример.3.5 Элементарные исходы, 5 вариант: числа очков на костях без различения игральных костей [(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…] –36 исходов.

Элементарный исход можно представить в виде

,

где i – число очков на первой кости, j – второй кости.

Тогда событие «на двух костях выпало в сумме 7 очков» можно представить в виде следующего подмножества элементарных исходов:

Заметим, что порядок перечисления элементарных исходов может быть произвольным. В дальнейшем подмножества пространства элементарных исходов будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C…

A =

Пустое подмножество обозначим

Так как пустое подмножество не содержит никаких элементарных исходов, в теории вероятностей оно обозначает невозможное событие.

Множество всех элементарных событий  называется, естественно, достоверное событие.

Элементарный исход как случайное событие представляет собой простейшее одноточечное подмножество.

Операции над подмножествами

Стандартные операции над подмножествами, естественно, применяются в теории вероятностей и имеют вероятностную интерпретацию.

Дополнение

Дополнение до подмножества A - это подмножество

т. е. дополнением к A является подмножество, включающее в себя все элементарные исходы, не содержащиеся в A. С точки зрения теории вероятностей подмножество A представляет событие, которое естественно назвать отрицание A или не-A. Т.е. A в опыте не произошло («не наступило»).

Объединение

Объединением двух подмножеств A и B является подмножество

Соответственно и интерпретация : произошло или A или B.

Пересечение

Пересечением двух подмножеств : A и B является подмножество

Соответственно и интерпретация : и A и B произошли одновременно.

Разность

Разностью двух подмножеств A и B является подмножество

Соответственно и интерпретация : A произошло, B - нет.

Симметричная разность

Симметричной разностью двух подмножеств A и B является подмножество

Соответственно и интерпретация : произошло только одно из этих двух событий.

Количество элементов в подмножестве

Если количество элементов в подмножестве A конечно, то будем обозначать его так

Отношения между подмножествами

Вложение

Подмножество В вложено в подмножество A, если любой элементарный исход, содержащийся в B также содержится и в A.

Интерпретация:

Стрелкой будем пользоваться также и для утверждений типа: “из A следует B” в формулировках определений и теорем

из B следует A

Т.е, если произошло B, то произошло и A.

Несовместность

Подмножества A и B называются несовместными (непересекающимися), если они не содержат общих элементарных исходов.

В теории вероятностей это означает, что A и B одновременно произойти не могут.

Противоположность

Подмножества A и B называются противоположными или дополнительными друг к другу, если они несовместны и их объединение достоверно.

В теории вероятностей это означает, что в опыте обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

Формулы

Для доказательства равенства двух подмножеств A и B достаточно показать, что A вложено в B, и что B вложено в A

Следующие формулы позволяют выразить одни операции с подмножествами через другие. Доказательства проведите сами.

Полная группа подмножеств

Полной группой подмножеств называется конечный набор или счетная последовательность попарно несовместных подмножеств объединение которых достоверно:

В опыте обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

Любые два противоположных подмножества образуют полную группу подмножеств.

Если пространство элементарных исходов конечно или счетно, то сами элементарные исходы являются полной группой подмножеств.

Алгебра и сигма-алгебра

При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:

Алгебра событий A это набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

Сигма - алгебра событий F это набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

и для любой счетной последовательности

Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.

Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.

Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.

Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств

Если алгебра или сигма-алгебра содержит событие A , то она обязана содержать и отрицание A. Поэтому минимальное число подмножеств в нетривиальной сигма-алгебре равно 4.

Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.