Закон больших чисел в форме Чебышева

Пусть у случайных величин классической схемы суммирования существуют математическое ожидание и дисперсия. Тогда

Доказательство.

Т.е.

и следовательно

Доказательство завершено.

Собирательность этих утверждений состоит в том,что они справедливы для широкого класса распределений слагаемых. Знание точного распределения слагаемых необязательно, лишь бы существовали математические ожидания и дисперсии

Закон больших чисел в форме Хинчина

Пусть у случайных величин классической схемы суммирования существует математическое ожидание. Тогда

Законы больших чисел устанавливают предельное постоянство среднего арифметического растущего числа случайных величин. Форма предельного распределения нормированного отклонения от этого предела устанавливается в так называемых центральных предельных теоремах.

Центральная предельная теорема в форме Леви

Теорема Леви

Пусть у случайных величин классической схемы суммирования существует математическое ожидание и дисперсия. Тогда

Частным случаем теоремы Леви является знаменитая теорема Муавра-Лапласа.

Теорема Муавра-Лапласа

Пусть - число успехов вn испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда

Доказательство следует из теоремы Леви, если вспомнить , что число успехов в схеме Бернулли является суммолй независимых одинаково распределенных случайных величин.

Условное математическое ожидание, условная плотность и условное распределение

Условное математическое ожидание, условные распределение и плотность являются одними из основных понятий современной теории вероятностей. Они позволяет дать корректное определение условной вероятности относительно возможных (непустых) событий, имеющих нулевую вероятность. Необходимость такого определения становится ясной из следующего примера.

Пусть - случайная равномерно распределенная точка на единичном квадрате. Тогда случайные величинынезависимы, равномерно распределены на единичном отрезке и

С одной стороны в силу независимости случайных величин условная вероятность событияпри условиидолжна совпадать с его безусловной вероятностью

с другой стороны формальное вычисление этой условной вероятности по формуле условной вероятности

невозможно.

Определение условного распределения и условной плотности Условное распределение

Пусть и- случайные векторы произвольной конечной размерности (например,k и s ) заданные на некотороми вероятностном пространстве

Если у вектора существует совместная плотность распределениято функция

где

называется условной плотностью условного распределения случайной величины при условии

Через условную плотность можно определить условное математическое ожидание случайной величины относительно случайной величины

Пусть - борелевская функция изв, тогда

Приведем пример вычисления условной плотности и условного математического ожидания.

Пример.

Пусть распределение вектора является двумерным нормальным распределением

Тогда одномерная плотность равна

и условная плотность

Замечая, что данная плотность является плотностью нормального распределения с математическим ожиданием

получаем, что