Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений

В теории вероятностей в отличие от математического анализа рассматриваются несколько различных видов сходимости последовательности функций (случайных величин) и их распределений. Это связано с тем, что в теории вероятностей принято пренебрегать маловероятными событиями и делать это можно по разному.

Сходимость по вероятности

Последовательность случайных величин

сходится к случайной величине

по вероятности, если

Сходимость по вероятности обозначается так

Сходимость в среднеквадратическом

Последовательность случайных величин

сходится к случайной величине

в среднеквадратическом (в L²) , если

Сходимость в среднеквадратическом обозначается так

Слабая сходимость распределений

Последовательность случайных величин

сходится к случайной величине

слабо (по распределению), если

во всех точках непрерывности функции

Слабая сходимость обозначается так

Основным отличием слабой сходимости от остальных видов сходимости является то, что от случайных величин не требуется, чтобы они были определены на одном вероятностном пространстве, так как условия сходимости формулируются с использованием только их функций распределения.

Взаимосвязь различных видов сходимости

Взаимосвязь различных видов сходимости представлена на следующей диаграмме.

Заметим, что ни одну из стрелок на данной диаграмме нельзя, вообще говоря, повернуть назад, т.е. любые два вида сходимости неэквивалентны. Практическое значение имеют, в основном, слабая сходимость и сходимость в среднеквадратическом потому что они позволяют производить приближенные вычисления вероятностей и математических ожиданий и заменять одни математические модели другими. Остальные виды сходимости используются в основном при доказательстве слабой сходимости или исследовании качественных свойств модели. Покажем, вначале, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость.

Закон больших чисел в форме Бернулли

Пусть - число успехов вn испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда

Доказательство.

Доказательство завершено.

Таким образом, для доказательства слабой сходимости достаточно доказать сходимость по вероятности или в среднеквадратическом.

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы представляют собой утверждения, устанавливающие условия сходимости (в том или ином смысле) последовательности случайных величин или последовательности распределений для некоторого класса вероятностных моделей. Роль, которую играют в теории вероятностей предельные теоремы объясняется тем, что в ряде случаев они представляют единственный способ качественного и количественного анализа сложных вероятностных моделей. Эти теоремы устанавливают близость (в некотором строго определенном смысле) одних вероятностных моделей другим. Применение предельных теорем позволяет выделить главные и второстепенные с количественной точки зрения свойства исследуемой вероятностной меры. Первой вероятностной моделью, для которой были получены предельные теоремы, является схема суммирования независимых слагаемых.

Схема суммирования независимых слагаемых

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин

Обозначим

В данной схеме обычно исследуется предельное поведение величины

и ее нормированных вариантов ипри большихn.

Примерами предельных теорем для частного случая классической схемы (схемы Бернулли) могут служить теорема Пуассона и закон больших чисел в форме Бернулли.

Современные предельные теоремы являются обычно собирательными утверждениями, т.е. такими утверждениями, которые справедливы сразу для большого класса объектов (в нашем случае вероятностных моделей). Первым примером предельной теоремы такого рода является закон больших чисел в форме Чебышева.