Случайные величины

В данной главе рассматриваются отображения одного вероятностного пространства в другое. Важнейшим случаем такого отображения является отображение основного пространства в пространство действительных чисел или векторов. Возникающие при этом случайные величины, случайные вектора и их распределения являются одними из основных понятий теории вероятностей.

Отображения вероятностных пространств

Дадим формальное определение отображения вероятностного пространства в измеримое пространство

Пусть

основное вероятностное пространство

измеримое пространство (т.е пара множество и сигма-алгебра)

поточечное отображение (функция), ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства точку x пространства X.

Отображение

называется измеримое отображение, если

множество (прообраз B)

Покажите, что так определенная функция будет вероятностью

Измеримость отображения гарантирует, что функция

определенная на сигма-алгебре

по формуле

будет вероятностью.

Эта функция называется распределение, индуцированное отображением

или просто распределение

Таким образом с каждым отображением

связано новое вероятностное пространство

.

Случайная величина

Случайной величиной называется измеримое отображение основного вероятностного пространства в множество действительных чисел. С практической точки зрения случайная величина это числовая характеристика эксперимента. Чтобы дать корректное определение случайной величины, необходимо указать подходящую сигма-алгебру на пространстве действительных чисел. В дальнейшем пространство действительных чисел будем обозначать

а пространство векторов с n действительными координатами

Борелевская сигма-алгебра

Так как сигма-алгебра на пространстве действительных чисел нужна нам для того, чтобы определить на ней вероятность, то естественно включить в эту сигма-алгебру побольше практически важных множеств. Обозначим

минимальную (которая содержится во всех других) сигма-алгебру, содержащую всевозможные интервалы вида

Эта сигма-алгебра называется борелевская сигма-алгебра). Она содержит все практически важные множества действительной прямой. Множество, принадлежащее борелевской сигма-алгебре называется борелевское множество.

Определение случайной величины

Пусть

основное вероятностное пространство

действительная прямая с борелевской сигма-алгеброй

поточечное измеримое отображение, ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства действительное число. Это отображение называется случайная величина.

Вероятностная мера, определенная на борелевской сигма-алгебре по формуле

называется распределение случайной величины.

Борелевская функция

Заметим, что в определении случайной величины не участвует вероятность. Поэтому в этом определении не требуется указывать, какая вероятность действует на основном пространстве.

Случайная величина, заданная на основном пространстве, которое является действительной прямой с борелевской сигма-алгеброй, называется борелевская функция.

Примеры борелевских функций

Любая непрерывная функция является борелевской.

Функции

тоже являются борелевскими.

Если f и g – две борелевские функции, то

тоже борелевские, т.к.

Примеры случайных величин

Индикатор события

Пусть A – случайное событие. Тогда функция

является случайной величиной и называется индикатор события A

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая значения 0 или 1 является индикатором некоторого события A.

Часто, для краткости, будем пользоваться обозначением

Простая случайная величина

Пусть

полная группа событий.

Случайная величина

называется простая случайная величина.

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая конечное число значений

является простой .

Дискретная случайная величина

Пусть

полная группа событий.

Случайная величина

называется дискретная случайная величина.

Верно и обратное – любая случайная величина принимающая конечное или счетное число значений является дискретной.

Случайный вектор

Аналогично одномерному случаю можно определить соответствующие понятия для пространства векторов размерности n. Следует только заменить интервалы на действительной оси прямоугольниками (произведениями интервалов) в пространстве векторов. Получающаяся при этом сигма-алгебра

называется борелевской сигма-алгеброй в пространстве

Аналогично даются определения борелевского множества и борелевской функции (как отображения из пространства векторов в пространство действительных чисел). При этом определении координаты случайного вектора будут случайными величинами.