Пуассоновское распределение - теорема Пуассона

Пусть

некоторый параметр.

Распределение на пространстве неотрицательных целых чисел называется пуассоновское распределение (распределение Пуассона), если

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения при специальном поведении параметров (n,p) биномиального распределения Это будет показано в дальнейшем. Заметим, что биномиальное распределение можно рассматривать как распределение на пространстве неотрицательных целых чисел, положив

Определим на сигма-алгебре всех подмножеств неотрицательных целых чисел две вероятности P и P_{n ,}, соответствующие пуассоновскому и биномиальному распределениям :

Теорема Пуассона.

Пусть параметры биномиального распределения изменяются следующим образом

Тогда

т.е. биномиальная вероятность стремится к пуассоновской вероятности.

Доказательство.

Действительно, сгруппировав множители входящие в p_k,n следующим образом

получим

Доказательство завершено.

При больших k рассчитать пуассоновскую вероятность гораздо легче, биномиальную. Пуассоновское распределение используется для приближения биномиального распределения в тех случаях, когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала.

Независимость событий и условная вероятность. Построение моделей.

При построении дискретных вероятностных моделей достаточно определить распределение на множестве элементарных исходов. Для того, чтобы определить вероятность элементарного исхода часто используют понятие независимости и понятие условной вероятности.

Независимость Различие между независимостью попарно и в совокупности. Пример Бернштейна

Данный пример показывает, что существуют попарно независимые события , которые не являются независимыми в совокупности.

Рассмотрим тетраэдр, грани которого покрашены в три цвета следующим образом:

1 грань – синяя

2 грань – зеленая

3 грань – желтая

4 грань разделена на три сектора – синий, зеленый и желтый.

Опыт состоит в бросании тетраэдра и наблюдении цвета выпавшей (нижней) грани.

Обозначим события

A – на грани есть синий цвет

B – на грани есть зеленый цвет

C – на грани есть желтый цвет

Тогда, используя симетричность тетраэдра и классическую вероятностную модель получим:

Для исключения неоднозначности при интерпретации понятия независимости в теории вероятностей при построении моделей используется, в основном, независимость в совокупности, как более сильная. В дальнейшем говоря о независимости мы, если не указано противное, будем подразумевать независимость в совокупности.

Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.

Во многих практических задачах априори ясно, что некоторые случайные события в эксперименте независимы. Естественно требовать, чтобы эти же события были независимы и в математической модели, описывающей данный эксперимент. Определение независимости в теории вероятностей имеет аналитический характер и, следовательно, требование независимости событий в модели, приводит к ограничениям на используемую вероятность. Эти ограничения вместе с дополнительными качественными (симметричность) или количественными требованиями часто позволяют однозначно определить подходящую вероятность.

Рассмотрим, например, эксперимент, описываемый элементарным исходом вида

где первая координата описывает одну случайную компоненту, а вторая другую случайную компоненту опыта.

Если предположить N₁ вариантов у первой компоненты и N₂ – у второй, то для того, чтобы задать вероятность, необходимо в общем случае N_1*N₂ –1 вероятностей элементарных исходов (столько, сколько всего пар минус одна – мы знаем , что сумма всех вероятностей пар должна быть равна 1).

Если заранее известно, что компоненты независимы, то количество вероятностей событий, которые мы должны задать , чтобы однозначно определить вероятность, уменьшается до N₁ +N₂ –2 (N₁ –1 на первую и N₂ –1 на вторую компоненту). Далее, вероятность элементарного исхода определяется как произведение вероятностей значений его компонент.

Подобный прием мы использовали при построении моделей для схемы Бернулли и мультиномиальной схемы.

В общем случае пусть элементарный исход некоторого эксперимента представляется в виде вектора с n координатами.

Пусть известно, что координаты вектора описывают независимые компоненты, т.е. все события вида

должны быть независимы. Тогда, если для описания i-той компоненты использовать вероятностное пространство

с соответствующими распределениями

то для описания всего эксперимента естественно использовать следующее вероятностное пространство

где

т.е.

т.е. сигма-алгебра, содержащая все события, описывающие поведение компонент.

Распределение в результирующем пространстве определяется по формуле

Так построенное вероятностное пространство называется произведением вероятностных пространств

а его составляющие, соответственно, произведениями пространств элементарных исходов, произведением сигма-алгебр и произведением вероятностных мер.