Доклад на тему «_______________________» Дисциплина: Элементы высшей математики Выполнил: студент группы ___

__________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

Ярославль, ____ год

5. Как создать презентацию

Помните, что презентация – это последовательность слайдов с текстовой информацией и визуальными материалами (рисунками, фотографиями, диаграммами, видеороликами).

Презентация по заданной тематике должна иметь следующую структуру:

1. титульный слайд (название работы, авторы);

2. план презентации (желательно наличие гиперссылок для удобства перехода к нужным слайдам);

3. основная часть;

4. заключение (краткое изложение основных мыслей, отношение автора к излагаемой теме и ее содержанию);

5. список использованной литературы.

При подготовке презентации удобно соблюдать тот же порядок работы, что и при подготовке доклада.

При оформлении презентации продумайте, как будет представлена информация на каждом слайде. Используйте следующие рекомендации:

1. По содержанию информации:

   • используйте короткие слова и предложения, выражающие основную мысль;

   • минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных;

   • дополните текстовую информацию визуальными материалами (фотографиями, формулами, рисунками…);

   • структурируйте информацию, выделяйте ключевые слова, термины, понятия.

2. По объёму информации:

   • не заполняйте один слайд слишком большим объемом информации;

   • используйте не более 7 строк на слайде.

3. По расположению информации на слайде:

   • отдавайте предпочтение горизонтальному расположению информации;

   • продумайте подписи изображений.

4. По оформлению слайдов:

   • соблюдайте единый стиль оформления презентации.

   • при выборе шрифта

• используйте шрифты без засечек (Arial, Franklin и др.);

• для заголовков – размером не менее 24 пунктов;

• для информации – размером не менее 18 пунктов;

• для выделения применяйте жирный шрифт или курсив.

• при выборе цвета:

• для фона выбирайте светлые тона;

• для фона и текста используйте контрастные цвета;

• на одном слайде применяйте не более трёх цветов.

• при выборе эффектов анимации:

• анимационные эффекты не должны отвлекать от содержания информации на слайде;

• не применяйте анимации к заголовкам на пустом слайде.

Задания для самостоятельной работы

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.6. Теория рядов Задание 38. Применение необходимого признака сходимости и свойств рядов – 1 ч.

Цель: формирование умения применять необходимый признак сходимости и свойства рядов при исследовании сходимости рядов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 38.1. Выясните, что называется числовым рядом. Выучите определения сходящегося и расходящегося числового ряда. Проанализируйте, в чём заключается их глобальное отличие.

 38.2. Сформулируйте необходимый признак сходимости. Внимательно изучите пример и запомните технику проверки выполнения необходимого признака сходимости для ряда.

38.3. Установите, выполняется ли для следующих рядов необходимый признак сходимости:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

 38.4. Проанализируйте, почему необходимый признак сходимости не является достаточным. Выясните, в чём заключается достаточное условие расходимости ряда. Рассмотрите пример его использования для ряда .

38.5. Применяя достаточное условие расходимости ряда, определите, какие из следующих рядов расходятся:

а) ; б) ; в)  .

 38.6. Перечислите основные свойства рядов. Изучите примеры их использования при исследовании рядов на сходимость.

38.7. Известно, что ряды и сходятся, а ряды и расходятся. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость заданные ряды:

а) ; б) ; в) ; г) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть задана бесконечная числовая последовательность : . Выражение вида называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (соответственно первым, вторым и т.д. , n-м или общим).

Для сокращенного обозначения ряда используется знак суммирования , а именно:

Рассмотрим ряд Будем последовательно складывать его члены:

Полученные суммы называются частичными суммами ряда. Рассмотрим бесконечную числовую последовательность частичных сумм ряда . Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, т.е. . Данный предел называют суммой ряда. Таким образом, сходящийся ряд имеет сумму (ему можно приписать конкретное число).

Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или вовсе не существует. Расходящийся ряд суммы не имеет (ему нельзя приписать конкретное число).

Важными механизмами в установлении сходимости или расходимости ряда без использования последовательности его частичных сумм являются специальные признаки сходимости. Первый из них – необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Пример 1. Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда .

Решение. Найдём общий член ряда : . Вычислим . Так как , следовательно, необходимый признак сходимости для ряда выполняется. Однако, для установления сходимости (расходимости) ряда требуются дополнительные исследования.

Ответ: необходимый признак сходимости для ряда выполняется.

Условие стремления общего члена ряда к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Так, для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполняется: , однако данный ряд расходится. Поэтому, если общий член ряда стремится к нулю, то о сходимости или расходимости ряда заранее ничего сказать нельзя.

На практике часто используется эквивалентное необходимому условию сходимости достаточное условие расходимости ряда: если или вовсе не существует, то ряд расходится.

Пример 2. Исследуйте ряд на сходимость.

Решение. Найдём общий член ряда : . Вычислим (при раскрытии неопределённости использовали правило Лопиталя). Итак, (необходимый признак сходимости для ряда не выполняется). Таким образом, в силу достаточного условия расходимости, исследуемый ряд расходится.

Ответ: расходится.

Устанавливать сходимость или расходимость ряда в некоторых случаях позволяют свойства рядов. Рассмотрим основные свойства рядов.

Свойство 1. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

Свойство 2. Если ряд сходится, и его сумма равна S, то для произвольного числа c ряд также сходится, и его сумма равна cS. Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Свойство 3. Если ряды и сходятся, и их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно . Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Из свойства 3 вытекают два следствия.

Следствие 3.1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Следствие 3.2. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Рассмотрим примеры использования свойств рядов при установлении их сходимости или расходимости.

Пример 3. Известно, что ряд - сходится, а ряд расходится. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость ряды: а) ; б) .

Решение. а) Поскольку данный ряд получается из сходящегося ряда умножением на число 7 ( ), следовательно, по свойству числовых рядов (свойство 2), он сходится.

б) Поскольку данный ряд представляет собой сумму сходящегося и расходящегося ряда, значит, по следствию из свойства рядов (следствие 3.1.), он расходится.

Ответ: а) сходится; б) расходится.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 10, п.10.1, стр. 223 – 226.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 12, § 77, стр. 396-407.