Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Тема 4.1. Переход между различными формами комплексных чисел Задание 54. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной и обратно – 2 ч.

Цель: формирование умения выполнять переход между различными формами комплексных чисел.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

54.1. Разберите технику перехода от тригонометрической, показательной и алгебраической форм ко всем остальным.

54.2. Закончите высказывания:

а) Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где … - действительная часть, … - мнимая часть комплексного числа.

б) Тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

в) Показательная форма комплексного числа имеет вид: z = …, где r - …, φ - ….

г) Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической и показательной включает следующие 4 этапа: …

54.3. Заполните таблицу:

№	Форма исходного числа	Исходное число	Форма для перевода	Полученное число	Кодовая буква
1.	тригонометрическая		показательная
2.			алгебраическая
3.			тригонометрическая
4.			алгебраическая
5.		-6	показательная
6.			тригонометрическая
7.			показательная

Мы уже знаем, что каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат – появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть несколько вариантов. Однако при некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри какой-либо области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. Как называются эти удивительно красивые изображения, Вы узнаете, выполнив задание 54.3.

Мы видим геометрическую фигуру, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Про такие фигуры говорят, что они моделируют сами себя. Такая геометрия тесно связана с теорией хаоса. В природе существует много примеров: от раковины и цветной капусты до гор и листьев. Эта теория нашла широчайшее применение в компьютерной графике.

Карта ответов:

А	Д	Е	И
К	Л	О	Р
С	Т	Ф	Я

Если Вас заинтересовала данная великолепная математическая теория, Вы можете посмотреть интересные видео в сети Интернет, перейдя по ссылкам:

http://www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI;

http://www.youtube.com/watch?v=Cfy0CXpR9Lo&feature=related;

http://www.youtube.com/watch?v=fr05uRumlNA&feature=relmfu;

http://www.youtube.com/watch?v=Yke32Oavr1I&feature=related.

54.4. Выполните задания для подготовки к практической работе:

а) решите уравнение: ;

б) вычислите: ;

в) вычислите: ;

г) представьте число в тригонометрической и показательной формах: ;

д) представьте число в показательной форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.

54.5. Найдите модуль и аргумент комплексного числа: .

Методические указания по выполнению работы:

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

• - алгебраическая форма (1);

• - тригонометрическая форма (2);

• - показательная форма (3).

Переход от тригонометрической и показательной формы

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и наоборот, достаточно выделить в записи числа значение модуля r и аргумента φ и подставить их в другую форму.

Для того чтобы осуществить переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической, необходимо вычислить значения и по таблицам значений тригонометрических функций.

Пример 1. Переведите комплексное число в показательную и алгебраическую формы.

Решение. Выделим в записи числа значение модуля r и аргумента φ: , . Подставим их в формулу (3): - показательная форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим и и подставим их в тригонометрическую форму:

= = - алгебраическая форма.

Ответ: , .

Пример 2. Переведите комплексное число в тригонометрическую и алгебраическую формы.

Решение. Выделим в записи числа значение модуля r и аргумента φ: , . Подставим их в формулу (2): - тригонометрическая форма.

Для записи заданного комплексного числа в алгебраической форме вычислим с использованием формул приведения (II четв.) и (II четв.) и подставим их в тригонометрическую форму:

= = - алгебраическая форма.

Ответ: , .

Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной.

Для того чтобы осуществить переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной, будем использовать следующий алгоритм:

1. Выделите параметры а и b в алгебраической форме .

2. Найдите модуль комплексного числа r по формуле: .

3. Для нахождения аргумента φ выполните вспомогательный чертеж и определите четверть, в которой расположен вектор (а, следовательно, и угол φ).

4. В зависимости от четверти, в которой лежит угол φ, воспользуйтесь одной из следующих формул:

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то ;

если четверти, то .

5. Подставьте найденные значения r и φ в тригонометрическую и показательную формы.

Пример 3. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Р ешение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 1). Видим, что полученный вектор образует с положительным направлением оси Ох угол , следовательно, без применения дополнительных формул делаем вывод, что .

4. Так как r = 6, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Пример 4. Переведите комплексное число в показательную и тригонометрическую формы.

Р ешение. 1. Выделим параметры а и b в алгебраической форме : , .

2. Найдем модуль комплексного числа r по формуле : .

3. Для нахождения аргумента φ выполним вспомогательный чертеж (рис. 2). Видим, что полученный вектор (а, следовательно, и угол φ) расположен во второй четверти.

4. Воспользуемся формулой: если четверти, то .

Тогда = = = .

5. Так как r = 2, а , то тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: . Показательная форма того же числа равна .

Ответ: , .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.187 - 188.