Пример 1. Изобразите на комплексной плоскости числа: , , .

Р ешение. Все числа заданы в тригонометрической форме. Выделим в записи каждого числа модуль и аргумент:

а) , . Отложим от положительного направления оси Ох угол , и на полученном луче отметим вектор длиной 2 ед. с центром в начале координат (рис. 43.2).

б) , .

в) , .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Пусть заданы два комплексных числа в тригонометрической форме: и .

1. Умножение: (1) - при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление: (2) - при делении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень: (3) - при возведении в степень комплексного числа в тригонометрической форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

4. Извлечение корня п-й степени: корень п-й степени из числа z имеет ровно п значений, которые находятся по формуле: (4). Для их нахождения необходимо менять значения параметра k, начиная с (первый корень ), затем (второй корень ) и т.д. до (п-й корень ).

Рассмотри, как выполняются операции над комплексными числами в тригонометрической форме на конкретных примерах.

Пример 2. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (1) получим = ∙ =

= = .

б) Используя формулу (2), находим = =

= .

в) Применяя формулу (3), находим = = .

г) Для извлечения кубического корня из воспользуемся формулой (4): , где параметр k будет принимать значения 0, 1 и 2 (поскольку число корней 3-й степени из числа имеет ровно 3 значения).

При k=0 = = =

= ;

При k=1 = = =

= ;

При k=2 = = =

= .

Ответ: а) = , б) = ,

в) = , г) : = , = , = .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.187, §28, с. 190 - 192 .

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Тема 4.1. Формы комплексных чисел Задание 53. Действия над комплексными числами в показательной форме – 1 ч.

Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в показательной форме.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

53.1. Выучите, какой вид имеет показательная форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в показательной форме.

53.2. Закончите высказывания:

а) z = … - показательная форма комплексного числа, где r - …, φ - ….

б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в показательной форме:

Операция	Модули (модуль)	Аргументы (аргумент)
Сложение	невыполнимо
Вычитание
Умножение	Умножаются	Складываются
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня

в) Корень п-й степени из числа z имеет ровно … значений.

53.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:

Комплексное число	Модуль	Аргумент	Изображение
	2

53.4. Заданы числа , . Выполните указанные действия над комплексными числами в показательной форме:

а) ; б) ; в) ; г)-е) .

С имвол i, хотя и был предложен … (задание 52.4), вошел во всеобщее употребление благодаря другому великому математику.  Именно он в 1831 году предложил используемое нами по сей день название таких чисел - “комплексные числа”. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.

 В начале XIX века было получено также геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и наш великий математик независимо друг от друга предложили изображать комплексное число  точкой  на координатной плоскости.

Выполнив задание 53.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете (или вспомните) фамилию этого великого математика.

Имя и фамилия математика, предложившего современное название комплексных чисел:

а)		б)	в)	г)	д)	е)
	.

Карта ответов:

А	В	Г	Д
Е	И	Й	К
Л	М	Н	О
С	С	У	Э

 53.5. Решите систему линейных уравнений: где а и с можно получить, выполнив преобразования: .

Методические указания по выполнению работы:

По формуле Эйлера .

Тогда - показательная форма комплексного числа, где r – модуль, φ – аргумент комплексного числа.

Действия над комплексными числами в показательной форме (аналогичны действиям в тригонометрической форме).

Пусть , . Над ними выполнимы следующие операции:

1. Умножение: = (5). При умножении комплексных чисел в показательной форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Деление: (6). При делении комплексных чисел в показательной форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.

3. Возведение в степень: (7). При возведении в степень комплексного числа в показательной форме модуль числа нужно возвести в п-ю степень, а аргумент умножить на п.

4. Извлечение корня п-й степени: (8), где , 1, 2… принимает ровно п значений.

Рассмотрим на примерах операции над комплексными числами в показательной форме.

Пример 1. Для комплексных чисел , найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) Согласно формуле (5) получим = ∙ = = .

б) Используя формулу (6), находим = = = .

в) Применяя формулу (7), находим = = .

г) Извлечем квадратный корень из по формуле (8): , где параметр k будет принимать значения 0 и 1 (корней 2-й степени из числа существует ровно 2: и ).

При k=0 = = = .

При k=1 = = = .

Ответ: а) = , б) = , в) = , г) : = , = .

Список литературы:

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27, с.188.