Пример 1. Для комплексных чисел и найдите: а) ; б) ; в) .
Решение.
а)
=
+
=
Действительную
часть комплексного числа будем складывать
с действительной частью, мнимую – с
мнимой:
=
=
.
При сложении двух комплексных чисел в алгебраической форме получили комплексное число также в алгебраической форме.
б)
=
-
=
=
=
- комплексное число в алгебраической
форме.
в)
=
∙
=
=
=
=
=
- комплексное число в алгебраической
форме.
Ответ: а) = ; б) = ; в) = .
Для того чтобы ввести операцию деления для комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, используем понятие сопряженных чисел.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Например,
числа
и
-
сопряженные,
и
- также сопряженные.
Чтобы выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.
Пример
2. Для комплексных чисел
и
найдите
.
Решение.
=
.
Домножим числитель и знаменатель дроби
на число
,
сопряженное знаменателю:
=
=
=
=
=
=
=
=
- комплексное число в алгебраической
форме.
Ответ: = .
На множестве комплексных чисел возможно решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Пример 3. Решите уравнение: .
Решение.
Найдем дискриминант:
=
36 – 52 = -16.
.
Тогда
.
Ответ:
Г
еометрически
комплексное число
можно представлять как
точку на комплексной плоскости с координатами (а; b).;
вектор
на комплексной плоскости с началом
в начале координат и концом в точке
Z(a;
b).
Действительную часть а комплексного числа будем откладывать на оси Ох, коэффициент при мнимой части b - на оси Оу (рис. 1). Ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью комплексной плоскости.
Плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Список литературы:
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2011 – гл. 6, §27 – 28, с.186 - 191 .
2. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Дрофа, 2009. – гл. 1, §1, с. 17 - 24.
Раздел 4. Основы теории комплексных чисел
Тема 4.1. Формы комплексных чисел Задание 52. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме – 1 ч.
Цель: формирование умения выполнять операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
1. Выучите, какой вид имеет тригонометрическая форма комплексного числа. Разберите, как выполнить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме.
52.2. Закончите высказывания:
а) z = … - тригонометрическая форма комплексного числа, где r - …, φ - ….
б) заполните таблицу по технике действий над комплексными числами в тригонометрич. форме:
Операция |
Модули (модуль) |
Аргументы (аргумент) |
Сложение |
невыполнимо |
|
Вычитание |
|
|
Умножение |
Умножаются |
Складываются |
Деление
|
|
|
Возведение
в степень |
|
|
Извлечение
корня
|
|
|
в) Корень п-й степени из числа z имеет ровно … значений.
52.3. Заполните таблицу и постройте на одном чертеже векторы, соответствующие заданным комплексным числам:
Комплексное число |
Модуль |
Аргумент |
Изображение |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52.4.
Заданы числа
,
.
Выполните указанные действия над
комплексными числами в тригонометрической
форме:
а
)
;
б)
;
в)
;
г)-д)
.
Вам известно, что символ для обозначения мнимой единицы i был введён в … году (задание 51.3). Автором этого знака является гений, один из величайших математиков всех времен и народов. Его творчество, едва умещающееся в 760 книгах и научных статьях, охватило все разделы математики того времени. Кроме того, значительная часть его жизни была отдана России.
Выполнив задание 52.4 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете фамилию этого великого математика.
Фамилия математика, предложившего символ i:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
|
|
|
|
|
Карта ответов:
А |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
Е |
И |
Й |
К |
|
|
|
|
Л |
М |
Н |
О |
|
|
|
|
Р |
С |
У |
Э |
|
|
|
|
52.5. Вычислите:
.
М
етодические
указания по выполнению работы:
Модулем
(
или r) комплексного
числа
называется длина соответствующего ему
вектора. r
=
(r > 0).
Аргументом комплексного числа называется угол φ, который образует вектор с положительным направлением оси Ох.
Тригонометрическая
форма комплексного числа имеет
вид
.