Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант	D>0	D=0	D<0
Корни характеристического уравнения		= k
Общее решение дифференциального уравнения

Рассмотрим решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами на конкретных примерах.

Пример 3. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два различных корня k₁ и k₂.

; или .

Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле : .

Ответ: .

Пример 4. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два равных корня k₁ = k₂ = k.

; .

Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле : .

Ответ: .

Пример 5. Решите дифференциальное уравнение: .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Найдем его корни. ; существуют два комплексных корня k₁ и k₂.

; , .

Тогда, пользуясь таблицей 49.1, находим общее решение дифференциального уравнения по формуле :

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.3 – 11.5, стр. 279 – 298.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §62 - 63, стр. 335 – 345.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §4, стр. 393 - 406.

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 50. Виды дифференциальных уравнений и методы их решения – 1 ч.

Цель: обобщение и систематизация знаний по теме «Дифференциальные уравнения».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

50.1. Составьте обобщающую таблицу по теме «Дифференциальные уравнения» по следующей структуре:

№	Вид уравнения	Формула, задающая уравнение	Метод решения
Первого порядка
1.
2.
3.
4.
Второго порядка
5.
6.

Методические указания по выполнению работы:

1. Проанализируйте, какие виды дифференциальных уравнений первого порядка Вам известны. Таких видов должно быть четыре. Запишите их названия в соответствующую графу.

2. Каждому виду уравнения сопоставьте формулу или определение, их задающие.

3. Запишите формулы или подстановки, которые нужно применять для решения соответствующих видов уравнений. Если возникают сложности, перечитайте методические указания к заданию №48.

4. Проанализируйте, какие виды дифференциальных уравнений второго порядка Вам известны. Таких видов должно быть два. Запишите их названия в соответствующую графу.

5. Каждому виду уравнения сопоставьте формулу, его задающую.

6. Запишите формулы или характеристические уравнения, которые нужно применять для решения соответствующих видов уравнений. Если возникают сложности, перечитайте методические указания к заданию №49.

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2 – 11.5, стр. 269 – 298.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 63, стр. 321 – 345.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2 - 4, стр. 375 - 406.