Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 46. Решение однородных дифференциальных уравнений – 1 ч.
Цель: формирование умений решать однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
46.1. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют однородными? Какова техника их решения?
46.2. Решите однородное дифференциальное уравнение:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
46.3. Решите однородное дифференциальное уравнение:
а)
;
б)
.
Методические указания по выполнению работы:
Однородные
дифференциальные уравнения
- уравнения вида
,
где
и
- однородные функции одинакового порядка.
Функция
называется однородной функцией п-го
порядка, если при умножении каждого
ее аргумента на произвольный множитель
λ вся функция умножится на λп,
т.е.
.
Для решения однородных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм:
Выполните подстановки:
и
.
В получившемся дифференциальном
уравнении раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые. Должно получиться
уравнение с разделяющимися переменными.Проинтегрируйте обе части уравнения с разделяющимися переменными относительно переменных x и z. Найдите общее решение дифференциального уравнения.
В общем решении вернитесь к переменным x и у, подставив вместо z выражение
.Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.
Пример
1. Найдите решение дифференциального
уравнения:
.
Решение. Данное уравнение – однородное дифференциальное уравнение первого порядка.
1. Выполним подстановки: и :
.
Раскроем скобки:
.
Приведем подобные слагаемые: первое и последнее взаимно уничтожаются. Получим:
.
Перед нами уравнение с разделяющимися переменными. Соберем в левой части выражения, содержащие dx, в правой – выражения, содержащие dу.
.
Тогда
или
- уравнение с разделёнными переменными.
2.
Интегрируя обе части, получим:
или
.
3.
Подставим вместо z
выражение:
:
или
.
Это и есть общее решение исходного
однородного дифференциального уравнения.
Ответ: .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 273 – 274.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 47. Решение линейных дифференциальных уравнений – 1 ч.
Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
47.1. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют линейными? Какова техника их решения?
47.2. Решите линейное дифференциальное уравнение:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
47.3. Решите линейное дифференциальное уравнение:
а)
;
б)
.
Методические указания по выполнению работы:
Линейные
дифференциальные уравнения
– уравнения вида
.
Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):
Приведите дифференциальное уравнение к виду и введите подстановки:
и
.Сгруппируйте члены, содержащие u, и вынести u за скобки.
Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию v (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и х). Функция v не должна содержать константу С!
Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию v, найти вторую функцию и (функция и содержит константу С).
Подставьте функции u и v, найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция у является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.
Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.
Пример
1. Найдите общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение. Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Выполним подстановки: и :
.
2. Сгруппируем члены, содержащие u, и вынесем u за скобки:
;
(*).
3. Считая, что неизвестная функция у является произведением двух также неизвестных функций u и v, мы можем одну из этих функций (v) выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию v:
- уравнение с
разделяющимися переменными, для решения
которого представим
.
Тогда:
.
Взяв интегралы от обеих частей, получим,
что
.
Но поскольку функцию v
мы выбираем произвольно, удобно константу
С взять равной нулю. Тогда
,
а
.
Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию v ( ).
4.
Вернёмся к уравнению (*). Поскольку
выражение в скобках на третьем шаге мы
выбирали равным нулю, то данное уравнение
(*) примет вид:
или
.
Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию и:
.
Данное уравнение легко приводится к
простейшему делением обеих частей на
х:
или
.
Тогда
.
Константу С здесь писать обязательно!
Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию и ( ).
5.
Решением исходного уравнения будет
являться функция
.
Функции u и v
были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения
примера. Подставив их в уравнение
,
найдем, что
- общее решение дифференциального
уравнения
.
Ответ: .
Замечание.
На 3-м шаге решения линейного
дифференциального уравнения требуется
выразить функцию v
через х. Во избежание возможных
трудностей, рассмотрим некоторые
конкретные примеры, показывающие, как
из полученного уравнения выразить v.
Они основаны на определении (
)
и одном из свойств логарифма (
):
.
.
.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 275 – 276.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.