Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 45. Решение дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными – 1 ч.

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 45.1. Какие дифференциальные уравнения называют простейшими первого порядка? Какова техника их решения?

45.2. Решите простейшее дифференциальное уравнение первого порядка:

а) ; б) ; в) ; г) .

45.3. Найдите частное решение простейшего дифференциального уравнения первого порядка:

а) ; б) .

 45.4. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют уравнениями с разделёнными и разделяющимися переменными? Какова техника их решения?

45.5. Решите дифференциальное уравнение с разделёнными и разделяющимися переменными:

а) ; б) ; в) .

45.6. Найдите решение задачи Коши:

а) ; б) .

 45.7. Определите численность населения России через 5 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его количеству (коэффициент пропорциональности k = -0,0006), и зная, что в население России в начале 2010 года составляло 141,9 млн. человек, а прирост населения за 2010 год был равен (-0,06)%.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Простейшие дифференциальные уравнения - уравнения вида .

Метод решения: взять интеграл от правой и левой части по переменной х: .

Пример 1. Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле :

;

у = - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: у = .

Пример 2. Найдите частное решение уравнения , если .

Решение. Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:

у = (см. пример 1) . Воспользуемся начальными условиями: , следовательно, при . Подставим эти числа в общее решение:

. Выразим из данного уравнения С: .

Подставив найденное значение С в общее решение у = , получим следующее частное решение дифференциального уравнения: у = .

Ответ: у = .

2. Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными - уравнения вида .

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Метод решения: проинтегрировать обе части уравнения: .

Пример 3. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

- общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Для решения уравнений с разделяющимися переменными целесообразно использовать следующий алгоритм:

1. Если в уравнении встречается , то представьте его как .

2. Произведите разделение переменных (в одной части при dx соберите выражения, содержащие только переменную х; в другой части при dу соберите выражения, содержащие только переменную у).

3. Почленно проинтегрируйте обе части уравнения с разделёнными переменными.

4. Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 4. Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение. 1. Данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда или .

2. Будем собирать множители с у в левой части, с х – в правой: .

3. Интегрируя обе части, получим: или - общее решение.

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 269 – 273.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.