Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Пособие по орг сам внеауд ИС КС 2.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
1.59 Mб
Скачать

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 27. Нахождение определённых интегралов методом подстановки – 1 ч.

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом подстановки.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

27.1. Разберите, в чём заключается сущность использования метода подстановки в определённом интеграле.

27.2. Найдите определённые интегралы как интегралы от «некоторых сложных» функций и методом подстановки:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) .

Л ейбниц успел сделать чрезвычайно много в различных областях науки. Как ему это удалось? Просто он имел способность работать в любом месте, в любое время и при любых условиях. Он много читал, записывал и постоянно думал. Большинство математических ра­бот Лейбница написаны в тряских колы­магах, переносивших его по Европе XVII века. Результатом этой активности стала масса исписанных бумаг всех размеров и сортов, которые он так и не разобрал и не опубликовал. Сейчас большинство из них хранится в Ганноверской библиотеке, ожи­дая своих исследователей.

Л

Здание Берлинской академии наук (ныне библиотека)

ейбница мы можем по-праву назвать гениальным немецким философом, математиком, юристом и дипломатом. В 1700 году он основал Берлинскую Академию наук и стал её первым президентом. Но, как ни покажется странным, нет трудов Лейбница, написанных на родном немецком языке. Почему так? Лейбниц считал, что в его эпоху немецкий был недостаточно очищен от варваризма, чтобы быть пригодным для выражения на нём математических и философских мыслей.

Выполнив задание 27.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, на каком языке (помимо французского) были написаны труды Готфрида Вильгельма Лейбница.

Язык:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Карта ответов:

А

Е

И

Й

Л

О

Н

Р

С

Т

Ь

Ы

0

2

27.3. Найдите определённые интегралы:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Интегрирование подстановкой (заменой переменной) – осуществляется с использованием формулы .

Для нахождения определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:

  1. Введите новую переменную u таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая и (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная и.

  2. Найдите du по формуле: du=и'dx.

  3. Выразите dx через du.

  4. Найдите новые границы интегрирования u1 и u2, подставив исходные границы в функцию и.

  5. Подставьте и и dx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной и: . Смените границы интегрирования на u1 и u2.

  6. Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный определенный интеграл с переменной и.

Рассмотрим применение метода замены переменной на примере.

Пример 1. Вычислите .

Решение.

1. Выполним подстановку u = 1- cosx с целью прийти к интегралу от функции f(u)= .

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(1-cosx)'dx =sinxdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=sinxdx): .

4. Вычислим новые границы интегрирования для переменной и. Для этого подставим существующие границы (π, ) в выражение u=1-cosx.

Тогда нижняя граница u1 = 1- = 1 – 0 = 1; верхняя граница u2 = 1 - cosπ = 1- (-1) = 2.

5. Подставим и и dx в исходный интеграл (пока неопределенный): = . Видим, что sinх можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

В результате всех преобразований первоначальный интеграл примет вид: .

6. Вычислим полученный интеграл. По таблице интегралов находим, что = . Воспользуемся свойством 3 определенного интеграла, позволяющим менять границы интегрирования, при этом избавляясь от знака "минус" перед определенным интегралом ( =- ). Тогда = = .

Ответ: = .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр. 168.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §47 - 50, стр. 267 – 283.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §6 - 7, стр. 318 - 331.