
- •Часть 2
- •Содержание
- •Пояснительная записка
- •Каждое задание включает в себя:
- •Рекомендации по выполнению разных видов
- •Как самостоятельно изучить теоретический материал
- •2. Как решать задачи (методика д. Пойа)
- •3. Как выполнить домашнюю контрольную работу
- •Задания для самостоятельной работы
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 22. Нахождение неопределённых интегралов методом непосредственного интегрирования – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 23. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки – 2 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 24. Нахождение неопределённых интегралов методом по частям – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 25. Решение задач на применение методов интегрирования в неопределенном интеграле – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 26. Нахождение определённых интегралов методом непосредственного интегрирования – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 27. Нахождение определённых интегралов методом подстановки – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 28. Нахождение определённых интегралов методом по частям – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 29. Нахождение определённых интегралов различными методами – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 30. Приложения определённого интеграла – 2 ч.
- •Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 31. Нахождение несобственных интегралов – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 32. Построение поверхности - графика функции двух переменных - в программе Microsoft Excel – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 33. Нахождение частных производных функции двух переменных – 2 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 34. Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных – 1 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 35. Нахождение повторных интегралов – 1 ч.
- •Петер Дирихле (1805-1859)
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 36. Нахождение двойных интегралов по прямоугольной области и произвольной области 1 типа – 2 ч.
- •Раздел 3. Основы математического анализа
- •Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 37. Приложения двойных интегралов в геометрии – 2 ч.
- •Критерии оценки выполнения самостоятельной внеаудиторной работы
- •Список рекомендуемой литературы
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 27. Нахождение определённых интегралов методом подстановки – 1 ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом подстановки.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
27.1. Разберите, в чём заключается сущность использования метода подстановки в определённом интеграле.
27.2. Найдите определённые интегралы как интегралы от «некоторых сложных» функций и методом подстановки:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Л
ейбниц
успел сделать чрезвычайно много в
различных областях науки. Как ему это
удалось? Просто он имел способность
работать в любом месте, в любое время и
при любых условиях. Он много читал,
записывал и постоянно думал. Большинство
математических работ Лейбница
написаны в тряских колымагах,
переносивших его по Европе XVII века.
Результатом этой активности стала масса
исписанных бумаг всех размеров и сортов,
которые он так и не разобрал и не
опубликовал. Сейчас большинство из них
хранится в Ганноверской библиотеке,
ожидая своих исследователей.
Л
Здание Берлинской академии наук (ныне библиотека)
ейбница мы можем по-праву назвать гениальным немецким философом, математиком, юристом и дипломатом. В 1700 году он основал Берлинскую Академию наук и стал её первым президентом. Но, как ни покажется странным, нет трудов Лейбница, написанных на родном немецком языке. Почему так? Лейбниц считал, что в его эпоху немецкий был недостаточно очищен от варваризма, чтобы быть пригодным для выражения на нём математических и философских мыслей.Выполнив задание 27.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, на каком языке (помимо французского) были написаны труды Готфрида Вильгельма Лейбница.
Язык:
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
|
|
|
|
|
|
Карта ответов:
А |
Е |
И |
Й |
Л |
О |
Н |
Р |
С |
Т |
Ь |
Ы |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
27.3. Найдите определённые интегралы:
а)
;
б)
.
Методические указания по выполнению работы:
Интегрирование
подстановкой (заменой переменной)
– осуществляется с использованием
формулы
.
Для нахождения определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:
Введите новую переменную u таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая и (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная и.
Найдите du по формуле: du=и'dx.
Выразите dx через du.
Найдите новые границы интегрирования u1 и u2, подставив исходные границы в функцию и.
Подставьте и и dx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной и: . Смените границы интегрирования на u1 и u2.
Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный определенный интеграл с переменной и.
Рассмотрим применение метода замены переменной на примере.
Пример
1. Вычислите
.
Решение.
1.
Выполним подстановку u
= 1- cosx с целью
прийти к интегралу от функции f(u)=
.
2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(1-cosx)'dx =sinxdx.
3.
Выразим dx из выражения
пункта 2 (du=sinxdx):
.
4.
Вычислим новые границы интегрирования
для переменной и. Для этого подставим
существующие границы (π,
)
в выражение u=1-cosx.
Тогда
нижняя граница u1
= 1-
= 1 – 0 = 1; верхняя граница u2
= 1 - cosπ = 1- (-1) =
2.
5.
Подставим и и dx в
исходный интеграл (пока неопределенный):
=
.
Видим, что sinх
можно сократить и прийти к интегралу
относительно переменной и:
.
В
результате всех преобразований
первоначальный интеграл примет вид:
.
6.
Вычислим полученный интеграл. По таблице
интегралов находим, что
=
.
Воспользуемся свойством 3 определенного
интеграла, позволяющим менять границы
интегрирования, при этом избавляясь от
знака "минус" перед определенным
интегралом (
=-
).
Тогда
=
=
.
Ответ: = .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр. 168.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §47 - 50, стр. 267 – 283.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §6 - 7, стр. 318 - 331.