Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 24. Нахождение неопределённых интегралов методом по частям – 1 ч.
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом по частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
24.1. Проанализируйте, в чём заключается сущность метода интегрирования по частям. Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом по частям. Ответьте на контрольные вопросы:
В чем заключается сущность метода интегрирования по частям?
Приведите формулу метода интегрирования по частям.
В каких типах интегралов целесообразно использовать метод интегрирования по частям? Что принимать за и, а что за dv?
24.2. Найдите интегралы методом по частям:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
24.3. Найдите интегралы:
а)
;
б)
(указание: за и обозначьте
);
в)
.
Методические указания по выполнению работы:
При
вычислении интеграла методом по частям
подынтегральное выражение
представляют в виде произведения двух
множителей u и dv,
причем dх обязательно
входит в dv. Далее
пользуются формулой интегрирования
по частям:
.
Существуют интегралы, которые удобно находить методом интегрирования по частям:
В интегралах вида
,
,
,
,
где Р(х) – многочлен, k
- const, за и принимают
многочлен Р(х), остальные множители
– за dv.Если в подынтегральной функции один из множителей - логарифмическая или обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx), то их обозначают за и, остальные множители – за dv.
Для нахождения неопределенного интеграла методом по частям используйте следующий алгоритм:
Разбейте подынтегральное выражение на u и dv (в соответствии с правилом, рассмотренным выше).
Найдите dи = и'dx и
.Подставьте u, v, dи и dv в формулу и возьмите получившийся интеграл.
Рассмотрим применение метода интегрирования по частям на примерах.
Пример
1. Найдите
.
Решение. 1. Поскольку под знаком интеграла встречается логарифмическая функция, то ее принимаем за u: u=lnx. Остальные множители принимаем за dv: dv=хdx.
2.
Находим dи=и'dx:
dи=(lnx)'dx=
.
Находим
:
=
(полагаем С=0).
3.
Воспользуемся формулой
:
=
lnx∙
-
=
=lnx∙
-
=
.
Ответ: = .
Пример
2. Найдите
.
Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид , следовательно, за и принимают многочлен (и = 2х-3), остальные множители – за dv: dv = е3хdx.
2. Находим dи = и'dx: dи = (2х-3)'dx = 2dx.
Находим
:
=
(полагаем С=0).
3.
По формуле
имеем:
=(2х-3)∙
-
=
=
.
Ответ: = .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 7, п. 7.2, стр. 153 – 156.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §46, стр. 261 – 264.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §5, стр. 316 - 317.