Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 23. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки – 2 ч.

Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом подстановки.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 23.1. Разберите, какие функции можно считать «некоторыми сложными функциям», какова техника нахождения интеграла от «некоторых сложных функций». Проанализируйте, в чём заключается сущность метода замены переменной в неопределённом интеграле (метода подстановки). Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом подстановки. Ответьте на контрольные вопросы:

1. Какие функции мы будем считать «некоторыми сложными»?

2. Какова техника нахождения интегралов от «некоторых сложных функций»?

3. В чём заключается сущность метода интегрирования подстановкой?

23.2. Найдите интегралы от «некоторых сложных функций»:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

23.3. Найдите интегралы методом замены переменной (подстановки):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

 23.4. Найдите интегралы:

а) ; б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Некоторыми сложными функциями будем считать функции вида f(kx+b), где k и b – любые действительные числа, f(x) – функция, от которой существует табличный интеграл.

Так, - примеры некоторых сложных функций. В аргументе этих функций переменная х находится только в первой степени!

Для нахождения интеграла от некоторых сложных функций будем использовать формулу: или применять следующий алгоритм:

1. Проанализируйте, к какому табличному интегралу можно свести данный интеграл.

2. Вместо х в табличный интеграл подставьте выражение kх+b из исходного интеграла.

3. В правую часть введите дополнительный множитель , где k – коэффициент перед х.

Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.

Пример 1. Найдите .

Решение. Видим, что под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В нашем примере в качестве аргумента выступает угол 2х. Выделим коэффициент k, стоящий перед х: k = 2, следовательно, в правую часть мы должны ввести множитель , то есть . Тогда получим, что .

Ответ: .

Пример 2. Найдите .

Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение 1 - х. Выделим коэффициент k, стоящий перед х: k = -1, следовательно, в правую часть вводим множитель (-1). Тогда получим, что .

Ответ: .

Пример 3. Найдите .

Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение 0,5х+3. Выделим коэффициент k, стоящий перед х: k = 0,5, следовательно, в правую часть введём множитель 1:0,5=2. Тогда получим, что .

Ответ: .

Пример 4. Найдите .

Решение. Под знаком интеграла стоит некоторая сложная функция. Воспользуемся табличным интегралом .

В примере в качестве аргумента выступает выражение 5 - 3х. Выделим коэффициент k, стоящий перед х: k = -3, следовательно, в правую часть введём множитель (-1/3). Тогда получим, что = .

Ответ: = .

Сущность метода интегрирования подстановкой заключается в том, что путем введения новой переменной удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который является табличным.

В основе метода подстановки лежит формула замены переменной в неопределенном интеграле: .

Для нахождения неопределенного интеграла методом подстановки (замены переменной) целесообразно использовать следующий алгоритм:

1. Введите новую переменную u таким образом, чтобы под знаком интеграла стояла функция, содержащая и (от этой функции должен существовать табличный интеграл), и производная и.

2. Найдите du по формуле: du=и'dx.

3. Выразите dx через du (при этом помните, что если множитель в одной части формулы находился в числителе, то в другую часть он перейдет в знаменатель и наоборот: если множитель находился в знаменателе, то в другую часть он «перейдёт» в числитель).

4. Подставьте и и dx в исходный интеграл. Если подстановка выполнена верно, то произойдет сокращение одинаковых множителей и интеграл сведется к табличному относительно переменной и: .

5. Пользуясь таблицей неопределённых интегралов, возьмите полученный интеграл с переменной и.

6. Перейдите от переменной интегрирования и к исходной переменной х.

Рассмотрим применение метода подстановки на конкретных примерах.

Пример 5. Найдите .

Решение. 1. Выполним подстановку u = х² с целью прийти к интегралу от функции е^и.

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=(х²)'dx =2хdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=2хdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл: = . Видим, что переменную х можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. Для нахождения полученного интеграла константу вынесем за знак интеграла: . По таблице неопределенных интегралов находим, что = .

6. Поскольку u=х², = = .

Ответ: =

Пример 6. Найдите .

Решение. 1. Выполним подстановку u= . Тогда под знаком интеграла будет стоять функция от u ( ) и производная u (u'=cosx).

2. Найдем du по формуле du=и'dx: du=( )' dx = cosхdx.

3. Выразим dx из выражения пункта 2 (du=cosхdx): .

4. Подставим и и dx в исходный интеграл: = . Видим, что cosх можно сократить и прийти к интегралу относительно переменной и: .

5. По таблице неопределенных интегралов находим, что = .

6. Поскольку u= , = = .

Ответ: = .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.- 320 с. - Глава 7, п. 7.2, стр. 153 – 156.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §46, стр. 255 – 261.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §5, стр. 310 - 316.