Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 37. Приложения двойных интегралов в геометрии – 2 ч.

Цель: формирование умения применять двойные интегралы для вычисления объёмов цилиндрических тел и площадей плоских геометрических фигур.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 37.1. Выучите определение цилиндрического тела. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления его объёма. Внимательно изучите пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.

37.2. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – прямоугольной областью D:

а) , D: ; б) , D: ; в) , D: .

37.3. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – областью D:

а) , D: ; б) , D: ;

в) , D: .

 37.4. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления площади плоской геометрической фигуры. Внимательно изучите пример нахождения площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

 37.5. Вспомните, как вычисляется площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Проведите сравнительный анализ техник двойного и определённого интегрирования для вычисления площадей плоских фигур.

37.6. Вычислите площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной линиями:

а ) ; б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Д войной интеграл используется для вычисления объёма цилиндрического тела и нахождения площади плоской геометрической фигуры.

Рассмотрим функцию , непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области D плоскости Оxy. Тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D, с боков – цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области D, называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис.1)

Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела: .

Рассмотрим пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.

Пример 1. Найдите объём цилиндрического тела, изображённого на рисунке (рис.2), ограниченного сверху поверхностью , снизу – плоскостью Оxy, с боков – плоскостями .

Решение. Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объёму цилиндрического тела, будем использовать формулу: .

В нашем случае . Область интегрирования D, что хорошо видно на рисунке, представляет собой фигуру на плоскости Оxy, ограниченную прямыми , т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объёма данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.

.

Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:

, где .

Таким образом, .

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге, . Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2. Найдите объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу – областью D плоскости Оxy, представляющей собой прямоугольный треугольник, образованный координатными осями и прямой .

Решение. В силу геометрического смысла двойного интеграла от неотрицательной функции, для нахождения объёма цилиндрического тела будем использовать формулу:

.

Вычислим двойной интеграл по области D. Для этого построим область интегрирования D в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Построим эту прямую по двум точкам:

х	0	3
у	2	0	.

Изображенная на рисунке область интегрирования D (рис.3) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

.

В нашем случае .

Найдем b как абсциссу точки пересечения прямой с осью , решив уравнение: . Получим , значит . Следовательно, .

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге, . Следовательно, .

Ответ: .

Рассмотрим в качестве в формуле единичную функцию : . Тогда цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой, равной 1, и основанием – D. Объём такого цилиндра V численно совпадает с площадью S его основания D. Таким образом, площадь плоской фигуры D можно находить по формуле:

.

Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции заключается в том, что величина двойного интеграла от единичной функции по области D равна площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования D.

Рассмотрим пример вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.

Пример 3. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области D равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования D, будем использовать формулу: .

В нашем случае областью интегрирования D является фигура, ограниченная линиями . Вычислим .

Для этого построим область интегрирования D в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линии, задаваемые уравнениями , - прямые, параллельные оси и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением - гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.

Описание линий, задающих область интегрирования D, позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.

Изображенная на рисунке область интегрирования D (рис.4) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

.

В нашем случае . Следовательно, .

Вычислим полученный повторный интеграл:

В итоге, . Следовательно, .

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 9, п.9.4, стр. 218 – 221.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 15, § 87, стр. 507-512.