Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 36. Нахождение двойных интегралов по прямоугольной области и произвольной области 1 типа – 2 ч.
Цель: формирование умения вычислять двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной областям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
36.1. Выясните, какая область интегрирования является прямоугольной. Запишите и запомните формулы сведения двойного интеграла к повторному по данной области. Внимательно изучите пример вычисления двойного интеграла по прямоугольной области.
36.2.
Вычислите двойной интеграл от функции
по прямоугольной области D:
а)
,
область D ограничена
линиями:
;
б)
,
D:
;
в)
,
D:
;
г)
,
D:
.
36.3. Выясните, какая область интегрирования является криволинейной. Запишите и запомните формулу сведения двойного интеграла к повторному по данной области. Внимательно изучите пример вычисления двойного интеграла по криволинейной области.
36.4. Вычислите двойной интеграл от функции по криволинейной области D, ограниченной линиями:
а)
,
D:
;
б)
,
D:
;
в)
,
D:
;
г)
,
D:
.
36.5. Вычислите двойной интеграл по произвольной области D:
а)
,
D:
;
б)
,
D:
;
в)
,
D ограничена
АВС:
А(1;0), В(3;0), С(3;2).
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Двойным
интегралом от функции
по области D
называется предел последовательности
интегральных сумм, не зависящий ни от
способа разбиения области D
на элементарные области, ни от выбора
точек в них, при условии, что число
слагаемых каждой интегральной суммы
неограниченно возрастает, а наибольший
из диаметров разбиения стремится к
нулю:
=
.
Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают два типа области интегрирования: прямоугольную и криволинейную. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают две ситуации.
О
бласть
интегрирования D на
плоскости
является прямоугольной,
т.е. ограничена прямыми
,
,
,
,
причем
,
(рис.1). В этом случае формула сведения
двойного интеграла к повторному имеет
вид:
-
или
О
бласть
интегрирования D на
плоскости
является криволинейной областью,
т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными
кривыми
и
,
а слева и справа – отрезками прямых
и
так, что любая прямая, параллельная оси
и проходящая внутри отрезка [a;
b] пересекает границу
области (кривые
и
)
в двух точках (рис.2).
В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:
При вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:
Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).
Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.
Вычислить полученный повторный интеграл.
Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.
Пример 1.
Вычислите двойной интеграл
по прямоугольной области D
, ограниченной прямыми
,
,
у=1, у=2.
Решение. Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла. Поскольку область интегрирования является прямоугольной, мы не будем изображать её в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
1. Для вычисления двойного интеграла по прямоугольной области используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В
нашем случае
Следовательно,
.
2. Вычислим полученный повторный интеграл:
Таким образом,
окончательно имеем:
Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также с использованием формулы
.
Тогда
.
Ответ:
Пример 2.
Вычислите двойной интеграл
по области D, ограниченной
линиями
,
и
.
Решение. Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла.
1) Построим область интегрирования D в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (рис.3) . Линия, задаваемая уравнением , - прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.
Линия, задаваемая уравнением , - прямая. Построим ее по двум точкам:
х |
0 |
2 |
у |
0 |
4 |
Линия, задаваемая уравнением , - прямая, параллельная оси и проходящая через точку (1;0).
В итоге, область интегрирования D обозначена на рис. 29.5. штриховкой.
2) Область интегрирования D является криволинейной областью. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
.
В
нашем случае
.
Следовательно,
.
3) Вычислим полученный повторный интеграл:
Таким образом,
окончательно имеем:
.
Ответ: .
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 9, п.9.1, стр.208-209; п.9.2, стр. 209 – 214.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 15, § 87, стр. 503-507.