Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 35. Нахождение повторных интегралов – 1 ч.

Цель: формирование умения вычислять повторные интегралы.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 35.1. Выучите определение повторного интеграла. Выясните, сколько типов повторного интеграла фактически существует. Проанализируйте, чем отличаются техники их вычисления.

 35.2. Подумайте, могут ли внешние пределы интегрирования быть переменными. Постарайтесь аргументировать свой ответ.

35.3. Вычислите повторные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

При вычислении повторных интегралов в ряде случаев используется формула Дирихле:

.

П етер Густав Лежён Дирихле (1805 - 1859) – немецкий учёный, автор трудов по интегральному исчислению, аналитической теории чисел, теории рядов, математической физике. В 1855 году П. Дирихле за свои многочисленные заслуги был приглашён в Геттинский университет в качестве продолжателя самого Карла Гаусса. Работы этого учёного в значительной мере предопределили пути развития современной математики.

Ф

Петер Дирихле (1805-1859)

амилия «Дирихле» для немецкого языка достаточно необычная. Её происхождение обусловлено тем, что предки математика были выходцами из бельгийского городка. Выполнив задание 35.3. и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, какому бельгийскому городу фактически обязан своей фамилией П. Дирихле.

Бельгийский город, которому обязан своей фамилией П. Дирихле:

а)	б)	в)	г)	д)

Карта ответов:

Д	И	В	Ю	Л	О	М
Ш	А	Т	Е	П	Р	Б

Методические указания по выполнению работы:

Д ля успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть на отрезке [a;b] заданы непрерывные функции и такие, что , , и пусть на области (рис.1) определена функция .

Если для любого фиксированного функция , как функция переменной , интегрируема на отрезке , т.е. при любом существует интеграл , и функция интегрируема на отрезке [a;b], то интеграл называется повторным интегралом и обозначается через

При этом называется внутренним интегралом; и - внутренними, a и b – внешними пределами интегрирования.

Внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными. Внешние пределы интегрирования всегда являются конкретными числами.

Важно помнить, что глобально повторный интеграл представляет собой число.

Для вычисления повторного интеграла надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл , в котором переменная считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от a до b.

Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.

Пример 1. Вычислите повторный интеграл

Решение. Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:

.

Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда

Для сокращения записи все вычисления можно оформить следующим образом:

Ответ:

Для функции , определённой на области понятие повторного интеграла вводится аналогично рассмотренному ранее. При этом повторный интеграл обозначается через Вычисляется он также последовательным взятием двух обычных определённых интегралов. Но при вычислении внутреннего интеграла постоянной считается переменная . А при нахождении внешнего интеграла полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от c до d.

Рассмотрим пример вычисления подобного повторного интеграла.

Пример 2. Вычислите повторный интеграл

Решение. Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:

.

Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда

Ответ:

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 9, п.9.2, стр. 209 – 211.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 15, § 87, стр. 506.