Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных Задание 34. Нахождение частных производных второго порядка функции двух переменных – 1 ч.

Цель: формирование умения находить частные производные и дифференциалы второго порядка функций нескольких переменных.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 34.1. Выучите определение частной производной второго порядка функции. Выясните, сколько частных производных второго порядка существует для функции двух переменных. Проанализируйте, есть ли среди них равные. Выясните, в чём заключается смысл теоремы Шварца для нахождения смешанных частных производных.

34.2. Найдите частные производные второго порядка функции:

а) ; б) .

 34.3. Найдите все частные производные третьего порядка функции .

 34.4. Выучите определение дифференциала второго порядка функции нескольких переменных и запомните формулу, которая используется для его нахождения.

34.5. Найдите дифференциал второго порядка функции:

а) ; б) ; в) .

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Частные производные и функции двух действительных переменных называют частными производными первого порядка. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка. Функция двух действительных переменных имеет четыре частных производных второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

- частная производная второго порядка функции по переменной х;

- частная производная второго порядка функции по переменной у;

- частная производная второго порядка функции по переменным х и у;

- частная производная второго порядка функции по переменным у и х.

Рассматривая частные производные от частных производных второго порядка, получим всевозможные частные производные третьего порядка. Например, , , и т.д.

Частные производные произвольного (высшего) порядка определяются аналогично.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например, , .

Для нахождения смешанных частных производных одного порядка функции нескольких переменных, отличающихся лишь порядком дифференцирования, удобно использовать теорему Шварца.

Теорема (Шварца). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, смешанные производные второго порядка функции двух переменных равны:

Пример 1. Найдите частные производные второго порядка функции .

Решение. Для функции двух переменных существуют четыре частные производные второго порядка: , , и . Но по теореме Шварца, смешанные производные второго порядка функции равны: . Значит, ограничимся поиском одной смешанной производной, например, . Сначала найдем частные производные первого порядка функции:

Найдем как частную производную по переменной х от :

Найдем как частную производную по переменной у от :

Найдем как частную производную по переменной у от :

По теореме Шварца, .

Ответ: , ,

.

Полный дифференциал функции : называют полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от первого дифференциала:

.

Аналогично можно определить дифференциалы соответственно третьего, четвертого, …, n-го порядков.

Для нахождения дифференциала второго порядка функции используется формула:

.

Пример 2. Найдите дифференциал второго порядка функции .

Решение. Для нахождения дифференциала второго порядка функции будем использовать формулу . Все частные производные второго порядка функции были получены нами в примере 5: , , . Подставим их в формулу дифференциала функции второго порядка: . Окончательно получим: .

Ответ: .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. – 320с. – Глава 8, п.8.4, стр. 192-195.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 15, § 86, стр. 496-502.