Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 29. Нахождение определённых интегралов различными методами – 1 ч.
Цель: формирование умения находить определённые интегралы методами непосредственного интегрирования, подстановки, по частям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
29.1. Вспомните, какие основные методы интегрирования в определённом интеграле существуют. В чём заключается их сущность?
29.2. Определите, какой метод интегрирования необходимо использовать, и найдите определённые интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
29.3. Найдите определённые интегралы:
а)
;
б)
;
в)
.
Методические указания по выполнению работы:
Если в задании не указан метод интегрирования, проанализируйте, можно ли использовать ранее изученные методы. Определиться в выборе метода Вам помогут методические указания к заданию 25.
Если у Вас возникают сложности в технике использования метода:
1. непосредственного интегрирования – перечитайте методические указания к заданию 26.
2. интегрирования «некоторых сложных» функций – изучите методические указания к заданию 26.
3. подстановки – перечитайте методические указания к заданию 27.
4. по частям – изучите методические указания к заданию 28.
Список литературы:
1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр. 156 – 168.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §47 - 50, стр. 267 – 283.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §6 - 7, стр. 318 - 331.
Раздел 3. Основы математического анализа
Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 30. Приложения определённого интеграла – 2 ч.
Цель: формирование умения применять определённый интеграл для вычисления площадей плоских фигур.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
30.1. Сформулируйте, в чём заключается геометрический смысл определённого интеграла. Какие типы плоских фигур, для нахождения площади которых используется определённый интеграл, существуют?
30.2. Выполните домашнюю контрольную работу №2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вариант |
Уравнения линий |
Вариант |
Уравнения линий |
||
1 |
19 |
|
10 |
28 |
|
2 |
20 |
|
11 |
29 |
|
3 |
21 |
|
12 |
30 |
|
4 |
22 |
|
13 |
31 |
|
5 |
23 |
|
14 |
32 |
|
6 |
24 |
|
15 |
33 |
|
7 |
25 |
|
16 |
34 |
|
8 |
26 |
|
17 |
35 |
|
9 |
27 |
|
18 |
36 |
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Методические указания по выполнению работы:
При нахождении площадей плоских фигур, ограниченных некоторыми линиями, удобно использовать следующий алгоритм:
Постройте линии, ограничивающие фигуру.
Возможны следующие варианты:
а)
(
,
)
- график – прямая линия, строится
по двум точкам;
(
) - график - прямая, параллельная или
совпадающая (при а = 0) с осью ОY;
б)
(
,
,
)
- график – парабола. Для её построения
используйте либо метод преобразований,
либо классический способ построения:
найдите координаты вершины (
),
где
,
получается подстановкой
в
уравнение параболы;составьте таблицу значений функции , выбирая значения х близкими к :
-
х
у
в системе координат по точкам, найденным в выше, постройте параболу;
в) , - график – синусоида.
В соответствии с таблицей «Виды фигур, площадь которых находится с помощью определенного интеграла» определите вид фигуры и составьте формулу для вычисления площади фигуры. Обратите внимание на границы интегрирования. Если они не следуют непосредственно из условия задачи, а определяются пересечением графиков каких-либо функций, то границы интегрирования следует находить аналитически, приравнивая уравнения, задающие соответствующие функции.
Вычислите площадь фигуры. Следует помнить, что площадь есть число положительное.
Выпишите ответ.