Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной Задание 28. Нахождение определённых интегралов методом по частям – 1 ч.

Цель: формирование умения находить определённые интегралы методом по частям.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

28.1. Разберите, в чём заключается сущность использования метода по частям в определённом интеграле.

28.2. Найдите определённые интегралы методом по частям:

а) ; б) ; в) ; г) .

Г

Арифметическая машина Лейбница

отфрид Лейбниц был не только гениальным математиком, но ещё и талантливым изобретателем. Вам, как студентам компьютерных специальностей, известно, что первую механическую счетную маши­ну сконструировал в 1642 г. французский ученый Блез Паскаль. Машина Паскаля могла только складывать и вычитать.

Лейбниц пытался сначала лишь улучшить машину Паскаля, но понял, что для выполнения операций умножения и деления необходим совершенно иной принцип. Можно понять гордость Лейбница, писавшего впоследствии «Мне посчастливилось построить такую арифметическую машину, которая совер­шенно отлична от машины Паскаля, поскольку дает возможность мгновен­но выполнять умножение и деление над огромными числами». Арифметиче­ская машина Лейбница была первой в мире машиной, предназначенной для выполнения четырех действий арифметики.

Интересно, что один из первых экземпляров «арифметического инструмен­та» Лейбниц намеревался подарить Петру I, но машина оказалась неисправ­ной, а механик ученого не смог ее починить в короткий срок. Лейбница живо интересовал молодой царь далекой Московии, которого он считал вы­дающимся реформатором. Петр встречался и переписывался с Лейбницем, обсуждал с ним проект организации Академии наук в Петербурге и развер­тывания системы образования в России.

Выполнив задание 28.2 и заменив получившиеся ответы буквами из таблицы, Вы узнаете, в каком году Лейбницем была сконструирована первая счётная машина для умножения и деления.

Год:

а)	б)	в)	г)

Карта ответов:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-1	1	0

28.3. Найдите определённые интегралы:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Интегрирование по частям - осуществляется с использованием формулы .

Рекомендации по выбору u и dv, а также алгоритм нахождения интеграла методом по частям были подробно разобраны в методических указаниях к выполнению задания №21.

Рассмотрим примеры применения метода интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 1. Найдите .

Решение. 1. Исходный интеграл имеет вид , следовательно, за и принимаем многочлен (и=х), остальные множители примем за dv: dv= dx.

2. Находим dи=и'dx: dи=х'dx=dx.

Находим : = (интеграл от некоторой сложной функции, полагаем С=0).

3. По формуле имеем: = - = = + + . Преобразуем каждое слагаемое отдельно:

= = - =0- = .

= = - = -9 = .

Тогда исходный интеграл равен = + = .

Ответ: = .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 7, п. 7.3 - 7.6, стр. 167.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 8, §47 - 50, стр. 267 – 283.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 5, §6 - 7, стр. 318 - 331.