3. Поток вектора магнитной индукции.

РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА И

КОНТУРА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Поток вектора магнитной индукции Ф_В равен числу линий вектора магнитной индукции, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно линиям индукции. В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб).

При расчете потока вектора магнитной индукции следует обращать внимание на то, какое рассматривается поле: однородное или неоднородное. Для однородного поля

Ф_В = BScos, (59)

где S – площадь поверхности;

  угол между нормалью к площадке и магнитной индукцией поля.

Для неоднородного поля Ф_В вычисляется через поверхностный ин-теграл:

. (60)

При перемещении контура с током в магнитном поле совершается работа, которая зависит от приращения магнитного потока через плоскость, ограниченную проводником:

(61)

Примеры решения задач

Задача 7. Круговой контур радиусом 30 см находится в однородном магнитном поле с индукций 0,3 Тл так, что его плоскость составляет угол 60 с линиями магнитной индукции. Найти значение магнитного потока, пронизывающего контур.

Дано: R = 30 см; B = 0,3 Тл;  = 60	СИ 0,3 м	Р ешение.
ФВ – ?

В случае однородного магнитного поля ( = const) поток вектора магнитной индукции

Ф_В = BScos. (62)

Площадь кругового витка определим по формуле:

S = R². (63)

Величину угла  между нормалью и вектором магнитной индукции найдем из рис. 17:

 = 90   = 90  60 = 30.

Подставим формулу (63) в выражение (62), получим расчетное уравнение:

Ф_В = BR²cos. (64)

Рассчитаем поток вектора магнитной индукция, подставив данные задачи в формулу (64):

Ф_В = 0,30,3²cos30 = 0,24 (Вб).

Ответ: Ф_В = 0,24 Вб.

Задача 8. Квадратный контур с током 5 А свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл. Сторона квадрата равна 10 см. Поддерживая ток неизменным, контур повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной линиям индукции, на угол 90. Определить совершенную при этом работу.

Дано: I = 5 A; B = 50 мТл; a = 10 см; 1 = 0 2 = 90	СИ 0,05 Тл 0,1 м	Решение.
А – ?

Квадратная рамка с током I свободно установилась в магнитном поле (рис. 18, а). Вектор перпендикулярен плоскости рамки и совпадает по направлению с вектором нормали (₁ = 0).

Работа внешних сил при повороте рамки на 90 (рис. 18, б) равна работе сил поля, взятой с противоположным знаком:

А = –А_м.п = , (65)

где  магнитные потоки, пронизывающие рамку до и после поворота.

В случае однородного магнитного поля магнитный поток:

Ф_В = BScos. (66)

Площадь квадратного контура определим по формуле:

S = а². (67)

Подставим выражения (66), (67) в уравнение (65) и получим расчетную формулу:

. (68)

Рассчитаем работу внешних сил, подставив данные задачи в формулу (68):

А = 50,050,1²(cos90  cos0) = 2,510^3 (Дж).

Ответ: А = 2,5 мДж.

Задача 9. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому идет ток 5 А, расположена квадратная рамка со стороной а, равной 5 см, обтекаемая током 0,5 А. Ближайшая сторона рамки параллельна прямому току и находится от него на расстоянии b, равном 8 см. Определить работу, которую надо совершить, чтобы повернуть рамку на 180^о вокруг дальней стороны рамки. Токи в проводнике и ближней стороне рамки в начальный момент времени направлены в одну сторону.

Дано: I1 = 5 A; I2 = 0,5 А; a = 5 см; b = 8 см;  = 180	СИ 0,05 м 0,08 м	Р ешение.
А – ?

Квадратная рамка с током I₂ находится в неоднородном магнитном поле прямого тока. Индукцию магнитного поля бесконечно длинного проводника с током определяем по формуле:

(69)

где r  расстояние от прямого тока до рассматриваемой точки.

Вектор во всех точках рамки перпендикулярен плоскости рамки.

Работа внешних сил при повороте рамки равна работе сил поля, взятой с обратным знаком:

(70)

где и  магнитные потоки, пронизывающие рамку до и после поворота.

Вследствие неоднородности поля прямого тока магнитный поток рассчитываем по формуле:

(71)

где   угол между направлением магнитной индукции и правовинтовой нормалью к рамке.

Для расчета потока выберем элементарную площадку dS (изображена на рис. 19 в виде заштрихованного прямоугольника), в пределах которой величину индукции В₁ можно считать постоянной:

(72)

(73)

где ₁ =

(74)

При повороте рамки изменяется угол между нормалью к рамке и направлением магнитной индукции, а также расстояние от провода до рамки. Тогда магнитный поток вычисляется по формуле:

(75)

где ₂ = ₁ +  =  ;

(76)

Подставив выражения (74) и (76) для потоков и в формулу (70), получим:

(77)

Подставив данные задачи в формулу (77), рассчитаем работу, которую нужно выполнить при повороте рамки:

(Дж).

Ответ: А = 20 нДж.