2. Сила ампера. Сила лоренца

В магнитном поле на движущийся заряд действует сила Лоренца:

(28)

где q электрический заряд;

 его скорость;

 магнитная индукция внешнего поля.

Н аправление силы Лоренца определяется исходя из определения векторного произведения или по правилу левой руки (при этом надо учитывать знак заряда). Это правило заключается в следующем: четыре пальца левой руки располагают по направлению скорости частицы, при этом линии магнитной индукции должны входить в ладонь, а отогнутый на 90 большой палец укажет направление силы Лоренца, действующей на положительно заряженную частицу. Если частица имеет отрицательный заряд q, то сила Лоренца направлена в противоположную сторону (рис. 11).

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости заряженной частицы, поэтому работы над частицей не совершает.

На проводники с током, находящиеся в магнитном поле, действуют силы, называемые силами Ампера. Сила Ампера, приложенная к элементу проводника с током , определяется по формуле:

. (29)

В частности, если поле однородно, то на прямолинейный проводник с током длиной ℓ действует сила:

F_A = IВℓsin, (30)

г де   угол между направлениями тока и магнитной индукции.

Направление силы Ампера также определяется по правилу левой руки, которое формулируется следующим образом: четыре пальца левой руки располагают по направлению тока в проводнике, при этом линии магнитной индукции должны входить в ладонь, а отогнутый на 90 большой палец укажет направление силы Ампера, действующей на проводник с током (рис. 12).

Примеры решения задач

Задача 4. Прямолинейный проводник с током 1 А находится в однородном магнитном поле и поле тяжести. Проводник расположен горизонтально и перпендикулярно линиям индукции магнитного поля и находится в равновесии. С каким ускорением начнет двигаться проводник, если по нему будет течь ток 0,5 А в прежнем направлении?

Дано: I1 = 1 A; I2 = 0,5 A		Р ешение.
a – ?
		Рис. 13 Рис. 14

Чтобы горизонтально расположенный проводник не падал в магнитном поле под действием силы тяжести , индукция магнитного поля должна быть направлена горизонтально и перпендикулярно проводнику (рис. 13). В этом случае силу тяжести уравновесит сила Ампера , направление которой определяем по правилу левой руки.

Запишем условие равновесия проводника с током I₁ в векторном виде и в проекциях на ось Оу:

+ = 0; (31)

 + mg = 0; (32)

mg = . (33)

Силу Ампера найдем через характеристики проводника и поля:

(34)

где  = 90, sin 90 = 1;

 длина проводника.

Подставим формулу (34) в уравнение (33):

mg = . (35)

Если силу тока в проводнике уменьшить, то сила Ампера будет мень-ше силы тяжести и проводник начнет падать с ускорением (рис. 14).

Запишем уравнение движения проводника в векторном виде:

= + . (36)

Перепишем уравнение (36) в проекциях на ось у:

ma_у = mg  . (37)

Силу Ампера найдем через характеристики проводника и поля:

(38)

Подставим формулу (38) в выражение (37):

ma_у = mg  . (39)

В уравнении (39) неизвестны магнитная индукция, масса и длина проводника. От этих неизвестных можно избавиться, если воспользоваться условием равновесия проводника, когда по нему течет ток I₁ (см. рис. 13).

Подставим формулу (35) в уравнение (39):

ma_у =  = ; (40)

ma_у = mg . (41)

Исходя из уравнения (41) получим расчетную формулу:

a_у = g . (42)

Введем данные задачи в формулу (42) и получим значение проекции ускорения:

a_у = 9,8(1/1 + 0,5) = 4,8 (м/с²).

Ответ: проводник будет двигаться вертикально вниз с ускорением 4,8 м/с².

Задача 5. Альфа-частица влетела в однородное магнитное поле с индукцией 300 мТл перпендикулярно к направлению линий индукции, после этого она стала двигаться по окружности радиусом 0,2 мм. Определить величину скорости и период обращения частицы по окружности.

Дано: B = 300 мТл; R = 0,2 мм; m = 6,641027 кг; q = 3,21019 Кл;  = 90	СИ 0,3 Тл 2104 м	Решение.
v – ? T – ?

На движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца:

. (43)

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Как видно из рис. 15, сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому она вызывает движение -частицы по окружности радиусом R.

На -частицу также действуют сила тяжести , но она значительно меньше силы Лоренца, поэтому силой тяжести можно пренебречь.

При таком движении -частицы сила Лоренца является центростремительной.

Скорость, с которой -частица влетела в магнитное поле, найдем из уравнения движения:

. (44)

Если векторы равны, то равны и их модули:

, (45)

здесь учтено, что центростремительное ускорение

. (46)

Из формулы (46) выразим скорость:

. (47)

Подставив в формулу (47) данные задачи, получим:

(м/с) = 2,9 (км/с).

Период обращения частицы:

. (48)

Подставим численные значения R и v в формулу (48) и рассчитаем период:

(с).

Ответ: v = 2,9 км/с; Т = 0,43 с.

Задача 6. Электрон, имея скорость 3 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 40 мТл под углом 30 к направлению линий индукции. Определить радиус и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Дано: v = 3 Мм/с; B = 40 мТл;  = 30; qе = 1,61019 Кл; mе = 9,11031 кг	СИ 3106 м/с 4102 Тл	Р ешение.
R – ? h – ?

На движущийся заряд в магнитном поле действует сила Лоренца:

. (49)

Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы, но при постоянной величине скорости электрона остается постоянным и модуль силы Лоренца. Постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной поперечной составляющей скорости (рис. 16); одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью v_||:

= v (50)

v_|| = v . (51)

В результате одновременного движения по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем из уравнения движения:

. (52)

Если векторы равны, то равны и их модули:

, (53)

здесь учтено, что центростремительное ускорение

. (54)

Из формул (50) и (53) найдем радиус:

(55)

Подставив в формулу (55) данные задачи, получим:

= 0,21 (мм).

Шаг винтовой линии h равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью v_|| за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот:

(56)

где Т  период обращения электрона,

. (57)

Подставив выражения (51) и (57) в формулу (56), получим расчетную формулу для определения шага винтовой линии:

h = 2rctg. (58)

Подставим в формулу (58) численные значения R и :

(мм).

Ответ: R = 0,21 мм; h = 2,3 мм.