9.2 Технологические модели

Технологические модели служат для анализа и оптимизации параметров процесса изготовления ИС. В частности, с помощью технологических моделей определяют результирующий профиль распределения примесей в полупроводниковых структурах ИС на основе технологических параметров процессов имплантации, диффузии и др.

Например, процесс диффузии примесей в полупроводник в одномерном приближении описывается уравнениями (5.1), (5.2). Результирующее распределение примесей зависит от технологических параметров – температуры, входящей в (5.1), времени диффузии, которое учитывается в отрезке интегрирования (5.2), концентрации диффузанта, учитываемой в краевых условиях – распределении концентрации N(0, x) в начальный момент времени t = 0 и зависимости поверхностной концентрации N₀ = N(t, 0) от времени при x = 0. Если задано желаемое распределение N_К в момент T_К окончания всех термических операций, то технологическую модель можно использовать для решения задачи оптимизации технологического процесса как задачи минимизации функционала³⁸:

где h – глубина слоя, в котором создается требуемый концентрационный профиль.

Концентрационные профили вместе с основными электрофизическими параметрами исходного полупроводникового материала (такими как время жизни неравновесных носителей заряда, плотность поверхностных состояний, подвижность носителей и т. д.) и топологией элементов ИС являются исходной информацией для физико-топологического моделирования полупроводниковых структур [2].

9.3 Физико-топологические модели

Физико-топологические модели определяют статику и динамику поведения подвижных носителей заряда в полупроводниковых структурах, характеризуются параметрами, связанными с геометрией и электрофизическими параметрами слоев и описываются дифференциальными уравнениями в частных производных [17, 18]:

(9.1)

(9.2)

(9.3)

(9.4)

(9.5)

где q – заряд электрона; j_p и j_n – плотности дырочного и электронного токов; p и n, g_p и g_n, _p и _n, D_p и D_n – концентрации, скорости процессов генерации – рекомбинации, подвижности, коэффициенты диффузии дырок и электронов, соответственно; E – вектор напряженности электрического поля; ρ – плотность объемного заряда; ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника; ε₀ – диэлектрическая постоянная вакуума. При полной ионизации атомов примесей

ρ = q (p – n + N_Д – N_А),

где N_Д, N_А – концентрации доноров и акцепторов.

Уравнения (9.1) и (9.2) являются уравнениями непрерывности для дырок и электронов. Физический смысл каждого из этих уравнений следующий: изменения концентрации подвижных носителей заряда в элементе объема определяются генерацией - рекомбинацией носителей и разностью количеств носителей приходящих в объем и уходящих из него в единицу времени. При этом преобладанию генерации носителей над рекомбинацией соответствует положительная скорость g, а обратной ситуации – отрицательная.

Уравнения переноса (9.3) и (9.4) отражают наличие в полупроводнике как дрейфового тока, вызванного электрическим полем, так и диффузионного тока, обусловленного градиентом концентрации по объему полупроводника.

Уравнение Пуассона (9.5) описывает изменения напряженности электрического поля при наличии объемных зарядов.

Дополненные соответствующими краевыми условиями уравнения (9.1) – (9.5) представляют собой наиболее общую из применяемых на практике физико-топологических моделей полупроводниковых структур. Краевые условия состоят из начальных условий, характеризующих распределение зависимых переменных по объему кристалла в начальный момент времени t = 0, и граничных условий, задающих значения зависимых переменных на границах рассматриваемой полупроводниковой области.

Для скорости генерации – рекомбинации носителей заряда, инжектируемых в полупроводник, можно использовать выражение [17]:

где p₀ и n₀ – равновесные концентрации, _p и _n - времена жизни дырок и электронов в объеме полупроводника; n₁ = n_i exp(U₁/U_T), n_i – собственная концентрация, U₁ находится в пределах 0,1  0,3 В, U_T = kT/q – температурный потенциал, k – постоянная Больцмана, T – температура; p₁ = n_i²/n₁. При низких уровнях инжекции дырок в n-полупроводник, т. е. при выполнении условия n >> p и n = n₀, имеем

а для электронов, инжектированных в p-полупроводник,

Подвижности носителей заряда являются функциями напряженности электрического поля E и концентрации легирующей примеси N. В моделях полупроводниковых структур используется та или иная аппроксимация зависимостей _p и _n от E и N [18].

Перед решением система (9.1) – (9.5) обычно преобразуется. Наиболее очевидное преобразование имеет целью сокращение числа переменных и сводится к исключению плотностей токов j_p и j_n с помощью уравнений переноса из уравнений непрерывности и Пуассона:

(9.6)

В системе уравнений (9.6) искомыми переменными являются концентрации носителей p и n и напряженность электрического поля Е; вместо Е может фигурировать потенциал U, т. к. E = -grad U.

Зачастую при анализе полупроводниковых структур используют такое преобразование уравнений, при котором от совокупности переменных p, n и U переходят к системе безразмерных переменных Ф_p, Ф_n и F, определяемых следующим образом:

Ф_p = exp (F_p),

Ф_n = exp (-F_n), F = U/U_T,

где F_p и F_n – квазипотенциалы Ферми для дырок и электронов, которые выражаются через прежние переменные p, n и U:

F_p = F + ln(p/n_i),

F_n= F - ln(n/n_i).

Подстановка новых переменных Ф_p, Ф_n и F вместо p, n и U в уравнения (9.1) – (9.5) в стационарном случае приводит к системе уравнений

(9.7)

Рассмотренные распределенные физико-топологические модели в высшей степени универсальны и могут быть использованы для проектирования самых различных полупроводниковых структур. В принципе они применимы и для анализа ИС в целом. Однако, при современном уровне развития вычислительной техники распределенные задачи столь высокой размерности не могут быть успешно разрешены. В основном распределенные физико-топологические модели полупроводниковых структур используются для определения параметров электрических моделей элементов (моделей на макроуровне). При заданном базовом технологическом процессе изготовления ИС (известны глубины залегания p-n-переходов, поверхностные концентрации примесей, метод изоляции и др.) рассчитываются электрофизические параметры структуры - удельные емкости, напряжения пробоя, обратные токи переходов, удельные сопротивления слоев, геометрические размеры и параметры элементов. Однако, и в этих случаях используют различные способы упрощения физико-топологических моделей, поскольку решение трехмерной нестационарной задачи (9.1) – (9.5) или стационарной (9.7) весьма трудоемко даже для простейших полупроводниковых структур³⁹.

Первый способ упрощения задач – переход к одно- или двумерным моделям. Так для структуры интегрального транзистора (см. рис. 1.3) характерны большие размеры областей в плоскости кристалла по сравнению с размерами в вертикальном направлении (на рис. 1.3 вертикальные размеры увеличены по сравнению с горизонтальными). Поэтому при расчете распределения концентрации носителей в вертикальном направлении допустимо одномерное приближение. При анализе электрических процессов в таких областях как база или коллектор транзистора допустимо рассчитывать поля потенциалов и горизонтальных токов с помощью двумерных моделей. Многие электрические параметры транзисторов, такие как тепловые токи, статические коэффициенты усиления, сопротивления тел базы и коллектора, могут быть определены в статических режимах. Для анализа этих режимов вместо нестационарной модели используется более простая стационарная модель.

Второй способ упрощения задач основан на идее макромоделирования. Макромодели могут быть получены для некоторых типовых структур или для отдельных участков структур полупроводниковых элементов в результате приближенного аналитического решения уравнений, входящих в исходную систему (9.1) – (9.5). Использование макромоделей отдельных участков полупроводниковой структуры, прежде всего участков с заметными перепадами концентраций, потенциалов и др. переменных, существенно облегчает численное решение уравнений (9.1) – (9.5) для оставшихся областей, делает приемлемыми затраты машинного времени на решение таких задач, как оптимизация или статистический анализ активных элементов ИС, в частности транзисторов.